布朗運動積分與布朗運動的共變異數
讓
$$ I = \int_0^1W_tdt, $$
在哪裡 $ W_t $ 是布朗運動。從布朗運動積分我們有
$$ \mathbb{E}[I]=0, $$ 由 Fubini 定理。然後 $$ \mathbb{V}\text{ar}[I] = \mathbb{E}[I^2] = \mathbb{E}\left[\int_0^1\int_0^1W_sW_tdsdt\right] = \int_0^1\int_0^1\mathbb{E}[W_sW_t]dsdt = \frac{1}{3}. $$ 在這裡，我不明白我們如何能夠將期望帶入積分，Ito isometry 說 $$ \mathbb{E}\left[\left(\int_0^tX_sdW_s\right)^2\right] = \int_0^t\mathbb{E}[X_s^2]ds $$ 所以我不確定如何在這裡使用它？
此外，我需要找到 $$ \mathbb{C}\text{ov}[I, W_1], $$
我知道 $$ \mathbb{C}\text{ov}[I, W_1] = \mathbb{E}[IW_1], $$ 自從 $ \mathbb{E}[I] = \mathbb{E}[W_1] = 0 $ ，我最好的猜測是 $$ \mathbb{E}[IW_1] = \min\left(\frac{1}{3},1\right) = \frac{1}{3}, $$ 但是，這可能是錯誤的。
先感謝您！
第一個問題，平等 $$ \mathbb{E}\left[\int_{[0,1]\times[0,1]} W_sW_tdsdt\right] = \int_{[0,1]\times[0,1]}\mathbb{E}[W_sW_t]dsdt \left(= \int_{[0,1]\times[0,1]}\min(s,t)dsdt\right) $$
是由於通勤期望和積分（不是 Ito 等距），這反過來又被Fubini 的定理條件滿足：
$$ \left(\int_{[0,1]\times[0,1]}\mathbb{E}\left[|W_sW_t| \right] ds dt \right)^2\leq $$ $$ \int_{[0,1]\times[0,1]}\mathbb{E}\left[|W_sW_t| \right]^2 ds dt \leq \int_{[0,1]\times[0,1]} \mathbb{E}\left[W_s^2 \right] \mathbb{E}\left[W_t^2 \right] dsdt $$ $$ = \int_{[0,1]\times[0,1]}st dsdt = \frac{1}{4} <\infty $$
（第一和第二不等式分別是 Jensen 和 Cauchy-Schwarz 不等式的應用）。
對於第二個問題，一種方法是使用時間積分的定義（Riemann pathwise）並使用共變異數性質：
$$ {\rm cov} \left(\int_0^1 W_tdt, W_1 \right) = {\rm cov} \left(\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} W_{\frac{k}{n}}, W_1\right) $$
$$ = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} {\rm cov} \left( W_{\frac{k}{n}}, W_1\right) = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k}{n} $$ $$ = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n-1)n}{2n^2} = \frac{1}{2} $$