幾何布朗運動對數的共變異數
假設我有一個幾何布朗運動過程， $$ dX_t=\mu X_t dt + \sigma X_t dW_t $$
我想找到的共變異數 $ \log(X_t) $ 和 $ \log(X_s) $ 在哪裡 $ s<t $ . 我們可以寫 $ \log(X_t) $ 微分形式為 $$ d\log(X_t)=\sigma dW_t+\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)dt $$
那是$$ cov(\log(X_t),\log(X_s))=E[\log(X_t)\log(X_s)] - E[\log(X_t)]E[\log(X_s)] $$ $$ =\sigma^2 s - ts\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)^2 $$
我的推導有什麼問題嗎？正如我的直覺告訴我的，不應該有任何與 $ \sigma^4 $ . 任何幫助表示讚賞！
讓 $ Y = \log X $ ， 然後：
$$ \begin{align} Y &= Y_0 + (\mu-\frac{\sigma^2}{2})t + \sigma W_t \ EY_t &=Y_0 + (\mu-\frac{\sigma^2}{2})t \ EY_tEY_s &= Y_0^2 + Y_0 (\mu-\frac{\sigma^2}{2}) (t+s) + (\mu-\frac{\sigma^2}{2})^2 t s \ E(Y_tY_s) &= E\left((Y_0 + (\mu-\frac{\sigma^2}{2})t + \sigma W_t) (Y_0 + (\mu-\frac{\sigma^2}{2})s + \sigma W_s)\right) \ &= Y_0^2 + Y_0 (\mu-\frac{\sigma^2}{2}) (t+s) + (\mu-\frac{\sigma^2}{2})^2 t s + \dots + \sigma ^2 \min(t,s) \end{align} $$
剩下什麼： $$ C\text{ov}(Y_t, Y_s) = \sigma^2 \min(t,s) $$