隨機過程
均值回复 Vasicek 過程的共變異數？
我正在處理一個均值恢復 Vasicek 過程，定義為：
$$ \begin{equation} S_t = S_0 e^{-at} + b(1-e^{(-at)}) + \sigma e^{(-at)} \int_{0}^{t} e^{(-as)} \ W_t \end{equation} $$
我想確定以下共變異數：
$$ \begin{equation} Cov[(S_{t+i}),(S_{t})] \end{equation} $$
有人可以幫我分析推導嗎？提前致謝！
**提示：**我們需要從 SDE 開始：
$$ \begin{equation} S_t = S_0 e^{-at} + b(1-{\rm e}^{-at}) + \sigma \int_0^t {\rm e}^{-a(t-u)}; dW_u \end{equation} $$
由於前兩項是確定性的，使用共變異數的標準屬性，計算 $$ {\rm cov} (S_{t_1}, S_{t_2}) $$ 可以簡化為計算
$$ {\rm cov} (Y_{t_1}, Y_{t_2}) $$ 在哪裡
$$ Y_t = \int_0^t {\rm e}^{au}; dW_u. $$
最後的共變異數計算可以在這裡找到。
**編輯：**一次 $ {\rm cov} (S_{t_1}, S_{t_2}) $ 可供所有人使用 $ t_1 $ 和 $ t_2 $ ，然後可以再次使用共變異數屬性（線性組合）來回答原始問題。