兩個布朗運動的共變異數

在修改過程中，我在過去的一篇論文中遇到了以下問題：

認為 $ (B_t, t\geq0) $ 是標準布朗運動。計算為 $ 0<s<t $ 共變異數$$ cov(tB_{3t}-B_{2t}+5, B_s-1). $$

現在，答案只是說明解決方案是 $ ts-s $ . 但是，我們得到的唯一說明是：$$ cov(B_t,B_s) = min{t,s}, $$證明涉及採用迭代期望。我是否應用相同的方法來解決這個問題，還是有更好/更直覺的方法來找到標準布朗運動變換之間的共變異數？

自從 $ \text{Cov}(X, Y) = E(XY) - EX EY $ ， 我們有

$$ \begin{align} \text{Cov}(tB_{3t} - B_{2t} + 5, B_s - 1) &= E[tB_{3t}B_s - tB_{3t} - B_{2t}B_s + B_{2t} + 5B_s - 5] - (5)(-1) \ &= tE[B_{3t}B_s] - E[B_{2t}B_s] \ &= ts - s \end{align} $$ 其中第一個等式只是乘積，第二個等式來自丟棄零期望項，第三個等式來自關係： $$ \begin{equation} \text{Cov}(B_s, B_t) = \text{min}{s, t} \end{equation} $$ 你正確寫出來的。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/63908