伊藤半鞅的協變

如果我們有兩個伊藤半鞅 $ [0,T] $ : $$ d X_t^i=a^i_tdt+\sigma_t^idW_t^i,\quad i=1,2 $$ 之間有什麼關係 $$ \langle X^1,X^2 \rangle_t \quad \text{and} \quad \langle W^1,W^2 \rangle_t, $$ 在哪裡 $ \langle \rangle_t $ 表示二次變化？假設相關係數 $ \rho $ 是恆定的，我認為我們應該有 $$ \langle W^1,W^2 \rangle_t=\rho dt $$ 而如果它不是恆定的，我們會有 $$ \langle W^1,W^2 \rangle_t=\int_0^t\rho_s ds $$ 這與二次變化有什麼關係 $ X^1 $ 和 $ X^2 $ ，在這兩種情況下？有沒有關係 $ \int_0^t\rho_s \sigma_s^1 \sigma_s^2 ds $ ?

注意 $$ \begin{align*} \left\langle \int_0^t \sigma_s^1 dW_s^1, \int_0^t \sigma_s^2 dW_s^2\right\rangle &= \int_0^t \sigma_s^1 \sigma_s^2 d\langle W_s^1, W_s^2 \rangle\ &=\int_0^t \rho_s\sigma_s^1 \sigma_s^2 ds. \end{align*} $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/55156