Black-Cox 模型中的預設強度
考慮 Black 和 Cox 的模型（Journal of Finance，1976）。
預設強度函式以通常的方式定義：$$ h(t) \equiv - \frac{\partial \log P[\tau > t| \mathcal{F}_t]}{\partial t} $$ 在哪裡 $ \tau $ 是恆定吸收屏障的第一次擊中時間 $ V_b $ 幾何布朗運動 $ V_t $ ， 和 $ \mathcal{F}_t $ 過濾是否及時 $ t $ . 在 Black-Cox 模型中， $ h(t) \in {0, \infty} $ . 怎麼能證明這一點？
如信用風險建模說明（Bielecki、Jeanblanc、Rutkowski）的推論 1.3.1 所示，對於 $ t < s $ ， 我們有：
$$ P(\tau \leq s | {\cal F}_t) = N\left( -Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-1/2}- \nu(s-t)^{1/2}\right ) + {\rm e}^{-2\nu \sigma^{-2}Y_t} N\left( -Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-1/2}+ \nu(s-t)^{1/2}\right ), $$
在哪裡
$$ Y_t = y_0+ \nu t +\sigma W_t, : \sigma >0, $$ $$ \tau = \inf ; {t\geq 0 | Y_t = 0 }, $$ 和 $ N $ 是標準的正常 cdf。
（在你的符號中， $ Y_t $ 是預設距離， $ Y_t =\ln (V_t/V_b) $ .)
然後我們計算條件密度機率如下： $$ \frac{\partial P(\tau \leq s | {\cal F}_t)}{\partial s} $$ $$ = n\left( -Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-1/2}- \nu(s-t)^{1/2}\right) \left( 2^{-1}Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-3/2}- 2^{-1}\nu(s-t)^{-1/2}\right) $$ $$ + {\rm e}^{-2\nu \sigma^{-2}Y_t} n\left( -Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-1/2}+ \nu(s-t)^{1/2}\right) \left( 2^{-1}Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-3/2}+ 2^{-1}\nu(s-t)^{-1/2}\right) $$
$$ = n\left( -Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-1/2}- \nu(s-t)^{1/2}\right) Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-3/2}, $$
注意到 $$ {\rm e}^{-2\nu \sigma^{-2}Y_t} n\left( -Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-1/2}+ \nu(s-t)^{1/2}\right) = n\left( -Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-1/2}-\nu(s-t)^{1/2}\right), $$
在哪裡 $ n $ 是標準的普通pdf。
使用 L’Hospital 我們得到：
$$ \lim_{s\rightarrow t^+} \frac{\partial P(\tau \leq s | {\cal F}_t)}{\partial s} =0. $$