股票價格公式的推導 John C. Hull 第 9 版 p309

它說假設一個模擬股票價格的非不確定 Weiner 過程： $$ \Delta S = \mu S\Delta t $$ 可以重新排列為（取限制後 $ \Delta t \to 0 $ … $$ \frac{dS}{S}=\mu dt $$ 然後在時間 0 和 T 之間積分得到： $$ S_T=S_0 e^{\mu T} $$

我不明白最後一步。它們是關於 t 的積分嗎？當先前方程中沒有指數時，指數是如何產生的？這一步是他們沒有顯示的複雜計算的濃縮嗎？

它比你想像的要簡單。Hull 只是在求解 ODE。

你可以天真地在等式兩邊加上積分符號： $$ \begin{align*} \frac{\mathrm{d}S_t}{S_t} &=\mu \mathrm{d}t \ \implies \int_0^T\frac{\mathrm{d}S_t}{S_t} &=\int_0^T\mu \mathrm{d}t\ \implies \ln(S_T)-\ln(S_0) &=\mu T \ \implies S_T&=S_0e^{\mu T}. \end{align*} $$

也許這更容易：因為 $ S_t $ 是確定性的，它是一個“正常”函式。因此，你可能想寫 $ y(x)=S_t $ . 上式則變為 $ \frac{\mathrm{d}y}{y} =\mu \mathrm{d}x\Leftrightarrow y’=\mu y $ . 所以，它只是關於求解一階 ODE。

另請注意 $ \frac{\mathrm{d}S_t}{S_t}=\mathrm{d}\ln(S_t) $ ，即如果時間是無窮小的，則百分比回報對應於對數回報。所以，你不應該對在這裡找到指數感到驚訝。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/53248