決定和[在p在q在r]和[在p在q在r]E[W_p W_q W_r]
給定機率空間 $ (\Omega, \mathscr{F}, P) $ 和維納過程 $ (W_t)_{t \geq 0} $ , 定義過濾 $ \mathscr{F}_t = \sigma(W_u : u \leq t) $
令 0 < p < q < r。決定 $ E[W_p W_q W_r] $ .
我的嘗試：
$ 0 = E[(W_r-W_q)(W_q-W_p)(W_p)] $
$ \to E[W_p W_q W_r] = E[W_r W_p^2 + W_pW_q^2 + W_qW_p^2] $
$ \to E[W_p W_q W_r] = E[(W_r+W_q) W_p^2 + W_pW_q^2] $
$ \to E[W_p W_q W_r] = E[E[(W_r+W_q) W_p^2 + W_pW_q^2]|\mathscr{F_p}] $
$ \to E[W_p W_q W_r] = E[W_p^2E[(W_r+W_q)|\mathscr{F_p}] + E[W_pE[(W_q^2)|\mathscr{F_p}]] $
$ \to E[W_p W_q W_r] = …0 $ ?
看起來東西是 $ \mathscr{F_p} $ - 可測量的？ $ E[(W_r+W_q)]=0=E[W_p] $
我不知道。請幫忙？:(
我認為你在這裡是正確的。
不幸的是，您在第一行中犯了一個符號錯誤：
$$ E[W_p W_q W_r] = E[W_r W_p^2 + W_pW_q^2 - W_qW_p^2]=\ E[(W_r-W_q)W_p^2]+E[W_pW_q^2]= E[W_pW_q^2] $$ 第一項是 $ 0 $ 通過獨立性（如 $ p<\text{min}(r,q) $ 並且正方形不影響獨立性）。 為了處理第二個術語，我們使用標準擴展技巧：
$$ E[W_pW_q^2] = E[W_p(W_q-W_p)^2]+2E[W_qW_p^2]-E[W_p^3] $$ 現在，第一項是 $ 0 $ 再次，通過獨立。對於第三項，我們使用正態分佈的第三個中心矩是 $ 0 $ . 第二個詞也是 $ 0 $ ，如一個簡單的計算所示：
$$ E[W_qW_p^2] = E[(W_q - W_p)W_p^2]+E[W_p^3] = 0 $$ 再次，通過增量的獨立性。 所以事實證明
$$ E[W_pW_qW_r]=0. $$ 希望我做對了一切。我必須承認，我期待一個不同的結果。