我知道 $ \frac{dW_t}{dt} $ ， 和 $ W_t $ 布朗運動，不存在。然而，確實 $ \frac{dt}{dW_t} $ 存在嗎？或者它甚至有意義嗎？我正在嘗試計算 Ito 過程的兩個微分的商，具體來說，給定 $ V_t $ 和 $ S_t $ 它處理，我需要 $ \frac{dV_t}{dS_t} $ 我描述的商出現了。我試圖通過使用 Ito 的規則來理解它：

$$ \frac{dt}{dW_t} = \frac{dt , dW_t}{(dW_t)^2} = \frac{0}{dt} = 0 $$

這個對嗎？如果是，它背後是否有直覺？

已經進行了編輯，但最初的問題是關於 $ \frac{\mathrm{d}t}{W_t} $ .

隨機變數確實存在

在你的

$$ original $$你問的問題 $ \frac{\mathrm{d}t}{W_t} $ ，雖然我認為你的意思是 $ \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}W_t} $ . 數量 $ \frac{\mathrm{d}t}{W_t} $ 確實存在，只是一個隨機變數。不過要小心，對於標準的布朗運動，這將是奇異的 $ t = 0 $ 而且我懷疑在有限時間內再次成為奇異的機率非零，（我需要更新我對布朗運動性質的知識）。你可以用它做大部分你想做的事情，儘管它的統計數據並不明顯（我不知道它是否有平均值）。 對 SDE 的誤解

在你的問題中你說你在追求 $ \frac{\mathrm{d}V_t}{\mathrm{d}W_t} $ ，但我認為您解決問題的方式是錯誤的並且誤解了 SDE。當我們編寫 ODE 時，我們習慣於按照以下構想編寫一些東西 $ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = f(t) $ 我們可以互換地寫成 $ \mathrm{d}y = f(t) \mathrm{d}t $ . 這往往會給人一種直覺，即我們正在嘗試尋找一個過程 $ y(t) $ 當我們區分這個時，我們得到 $ f(t) $ ，並且通過微積分基本定理，我們也解決了求積分的問題 $ \int f(t) \mathrm{d}t $ . 因為 ODE 在很大程度上可以在這兩種解釋之間自由切換，而哪一種更正確通常取決於問題是如何設置的。

對於 SDE，只有一種寫法，這是 $$ \begin{equation} \mathrm{d}Y_t = f(X_t) \mathrm{d}X_t \end{equation} $$ 從來沒有 $ \frac{\mathrm{d}Y_t}{\mathrm{d}X_t} = f(X_t) $ . （我沒有混合任何有限的變化 $ \mathrm{d}t $ 為簡單起見）。我們幾乎總是有一些初始條件 $ Y_0 = y_0 $ ，因此我們必須始終理解我們所寫的 SDE 是嚴格的簡寫 $$ \begin{equation} Y_t = y_0 + \int_{X_0}^{X_t} f(X_s) \mathrm{d} X_s. \end{equation} $$ 因此，當您與 SDE 打交道時，您幾乎從來沒有以下形式的項目 $ \frac{\mathrm{d}\cdot}{\mathrm{d}\cdot} $ （例外可能是來自 Ito 引理或 Radon-Nikodym 導數的偏導數）。

濫用符號

作為一個側面，你最後的評論是關於 $ (\mathrm{d}W_t)^2 = \mathrm{d}t $ 也是對符號的濫用。我們也從未真正生產過以下形式的項目 $ (\mathrm{d}W_t)^2 $ ， 反而 $ \mathrm{d}\langle W\rangle_t $ . 這只是另一種方便的表示法，但是在哪裡使用它，您需要真正了解幕後發生的事情，否則如果您濫用它（就像您一樣），您會產生數學廢話。對於這方面的一個很好的資源，我推薦 Klebaner 的關於隨機微積分的書。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/54507