維納過程的離散化

維納過程 $ (W_t) $ 是一個滿足以下條件的連續隨機過程：

1. $ W_0 = 0 $ ,
2. 增量 $ \mathrm{d}W_t = W_{t + \mathrm{d}t} - W_t $ 均值正態分佈 $ 0 $ 和變異數 $ \mathrm{d}t $ ,
3. 增量是相互獨立的，即 $ \mathrm{d}W_i $ 獨立於 $ \mathrm{d}W_j $ 對於每個 $ i $ 不同於 $ j $ .

我現在想對 Wiener 過程進行離散化，以便按照Higham (2001) 的“隨機微分方程數值模擬的算法介紹”開頭所述進行模擬。

• 首先，我必須離散化時間間隔 $ [0,T] $ 在 $ N $ 等長的子區間 $ \delta_t = \frac{T}{N} $ . 這樣一來，每個 $ N+1 $ 時刻由下式給出 $ t_i = i \cdot \delta_t $ .
• 然後，在每個時間瞬間 $ t_i $ ，維納過程的離散版本是 $$ \begin{align*} W_i = W_{i-1} + \mathrm{d}W_{i-1}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \mathrm{d} W_{i-1}\sim N(0,\delta_t) $ 和 $ W_0=0 $ .

我想不明白 2 和 3 是如何暗示上述迭代公式的。

我認為這意味著離散點之間的布朗增量 $ (i-1) $ 和 $ i $ 正態分佈，均值為 0，變異數等於 $ \delta t $ 它表示兩個離散點之間的間隔長度。然後您可以將增量寫為 $ \sqrt{\delta t} $ 乘以標準正態隨機數。因此，該等式應與等式後面的陳述一起閱讀。

為了更清楚地看到它，讓我們用 Z 表示標準法線 $ Z \sim N\left(0,1\right) $ 聲稱是 $ dW_j \sim \sqrt{\delta t} Z $ . 法線的線性變換是正常的，所以 $ \sqrt{\delta t} Z $ 確實是正常的，它的均值和變異數很容易計算：

$ E \left[\sqrt{\delta t} Z \right]=\sqrt{\delta t}E \left[Z\right]=0 $

$ V \left[\sqrt{\delta t} Z \right]=\delta t V \left[Z\right]=\delta t $

而且因為 $ dW_j $ 具有相同的性質，我們可以說 $ dW_j \sim \sqrt{\delta t} Z $ .

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/49867