分佈在赫斯頓
$$ dV_t=-k(V_t-1)dt+ \epsilon\sqrt{V_t}dW_t $$ $ W_t $ 是維納過程，其餘的只是一些參數。 為了 $ T_{i+1}>T_{i} $ 我如何找到期望和變異數 $ V_{T_{i+1}} $ 有條件的 $ V_{T_i} $ ?
根據@Quantuple，我們可以考慮更通用的 Cox-Ingersoll-Ross 模型
$$ {\rm d}r_t=a\left(b-r_t\right){\rm d}t+\sigma\sqrt{r_t}{\rm d}w_t. $$ 積分這個方程 $ t\in\left(u,v\right)\subseteq\mathbb{R}^+ $ 產量 $$ \begin{align} r_v-r_u=\int_u^v{\rm d}r_t&=\int_u^v\left[a\left(b-r_t\right){\rm d}t+\sigma\sqrt{r_t}{\rm d}w_t\right]\ &=ab\left(v-u\right)-a\int_u^vr_t{\rm d}t+\sigma\int_u^v\sqrt{r_t}{\rm d}w_t. \end{align} $$ 演戲 $ \mathbb{E}\left(\cdot|r_u\right) $ 在這個等式的兩邊給出 $$ \begin{align} \mathbb{E}\left(r_v|r_u\right)-r_u&=\mathbb{E}\left(r_v-r_u|r_u\right)=\mathbb{E}\left[ab\left(v-u\right)-a\int_u^vr_t{\rm d}t+\sigma\int_u^v\sqrt{r_t}{\rm d}w_t\Bigg|r_u\right]\ &=ab\left(v-u\right)-a\mathbb{E}\left(\int_u^vr_t{\rm d}t\Bigg|r_u\right)+\sigma\mathbb{E}\left(\int_u^v\sqrt{r_t}{\rm d}w_t\Bigg|r_u\right)\ &=ab\left(v-u\right)-a\mathbb{E}\left(\int_u^vr_t{\rm d}t\Bigg|r_u\right)\ &=ab\left(v-u\right)-a\int_u^v\mathbb{E}\left(r_t|r_u\right){\rm d}t. \end{align} $$ 表示 $ f(t)=\mathbb{E}\left(r_t|r_u\right) $ 為了 $ t\ge u $ , 最後一個方程等價於, 對於所有 $ v\ge u $ , $$ f(v)=r_u+ab\left(v-u\right)-a\int_u^vf(t){\rm d}t. $$ 將其視為關於以下的積分方程 $ v $ , 及其各自具有初始條件的微分方程為 $$ \begin{align} f’(v)&=ab-af(v),\ f(u)&=r_u. \end{align} $$ 該系統立即導致
$$ \mathbb{E}\left(r_v|r_u\right)=f(v)=r_ue^{-a\left(v-u\right)}+b\left(1-e^{-a\left(v-u\right)}\right). $$
根據上面的結果，我們可以得出 $ \mathbb{E}\left(r_v^2|r_u\right) $ 如下。由於 Ito 的公式，Cox-Ingersoll-Ross 模型給出了
$$ \begin{align} {\rm d}\left(r_t^2\right)=2r_t{\rm d}r_t+{\rm d}\left<r\right>_t&=2ar_t\left(b-r_t\right){\rm d}t+\sigma r_t\sqrt{r_t}{\rm d}w_t+\sigma^2r_t{\rm d}t\ &=\left[\left(2ab+\sigma^2\right)r_t-2ar_t^2\right]{\rm d}t+\sigma r_t\sqrt{r_t}{\rm d}w_t. \end{align} $$ 再次，將這個方程積分 $ t\in\left(u,v\right)\subseteq\mathbb{R}^+ $ 產量 $$ r_v^2-r_u^2=\left(2ab+\sigma^2\right)\int_u^vr_t{\rm d}t-2a\int_u^vr_t^2{\rm d}t+\sigma\int_u^vr_t\sqrt{r_t}{\rm d}w_t. $$ 演戲 $ \mathbb{E}\left(\cdot|r_u\right) $ 在這個等式上產生 $$ g(v)-r_u^2=\left(2ab+\sigma^2\right)\int_u^vf(t){\rm d}t-2a\int_u^vg(t){\rm d}t, $$ 在哪裡 $ f $ 與上面的符號一致，而 $ g(v)=\mathbb{E}\left(r_t^2|r_u\right) $ . 請注意，其各自的微分方程讀取 $$ \begin{align} g’(v)&=\left(2ab+\sigma^2\right)f(v)-2ag(v),\ g(u)&=r_u^2. \end{align} $$ 多虧了這個系統，我們最終可以弄清楚
$$ \begin{align} \text{Var}\left(r_v^2|r_u\right)&=\mathbb{E}\left(r_v^2|r_u\right)-\mathbb{E}^2\left(r_v|r_u\right)=g(v)-f^2(v)\ &=\frac{\sigma^2}{a}\left[r_ue^{-a\left(v-u\right)}\left(1-e^{-a\left(v-u\right)}\right)+\frac{b}{2}\left(1-e^{-a\left(v-u\right)}\right)^2\right]. \end{align} $$
可以通過以下方式獲得您原始問題的答案 $ a=k $ , $ b=1 $ , $ \sigma=\epsilon $ , $ u=T_i $ 和 $ v=T_{I+1} $ .