如果波動過程跳躍，我們是否需要 Feller 條件？
眾所周知，在仿射過程中，如Heston 模型
$$ \begin{equation} \begin{aligned} dS_t &= \mu S_t dt + \sqrt{v_t} S_t dW^{S}{t} \ dv_t &= k(\theta - v_t) dt + \xi \sqrt{v_t} dW^{v}{t} \end{aligned} \end{equation} $$ SV $ v_t $ 如果漂移足夠強，即如果漂移參數 ( $ k $ , 均值回歸的速度, 和 $ \theta $ , 均值恢復水平）和 Vol-of-Vol $ \xi $ 滿足： $$ \begin{equation} k \theta > \frac{1}{2} \xi^2 \end{equation} $$ 這被稱為費勒條件。我知道這種情況可以推廣到多因素仿射過程。例如，如果收益的波動性 $ \log S_t $ 由幾個獨立的因素組成 $ v_{1,t},v_{2,t},…,v_{n,t} $ ，則 Feller 條件分別適用於每個因素（例如，請查看第 705 頁的此處）。此外，Duffie 和 Kan (1996)提供了 Feller 條件的多維擴展。 但是我仍然不明白在jump-diffusion的情況下我們是否仍然需要（或某種）Feller 條件。例如，您可以考慮具有指數分佈跳躍的波動因子的簡單情況：
$$ \begin{equation} dv_t = k(\theta - v_t) dt + \xi \sqrt{v_t} dW^{v}{t} + dJ^{v}{t} \end{equation} $$ 在哪裡 $ J^{v}{t} $ 是一個複合Poisson過程，獨立於維納 $ W^{v}{t} $ . Poisson到達強度是一個常數 $ \lambda $ 平均 $ \gamma $ . 我觀察到在這種情況下，長期均值回復水平是跳躍調整的： $$ \begin{equation} \theta \Longrightarrow \theta ^{*}=\theta + \frac{\lambda}{k} \gamma \end{equation} $$ 所以我懷疑如果某種 Feller 條件適用，它必須取決於跳躍。 然而，從純粹直覺的角度來看，即使障礙在 $ v_t = 0 $ 是吸收性的，跳躍會再次從 0 拉回。
感謝您的時間和關注。
Feller 條件無需修改即可適用。
這是在假設 $ v $ 是具有Poisson到達跳躍的平方根過程（如您所寫），並假設跳躍分佈嚴格為正且初始水平 $ v_0>0 $ .
原因是，在不發生跳轉的情況下，該過程只是一個平方根過程，您引用的參考文獻表明 $ v $ 保持嚴格正的iff $ \kappa\theta>\frac{1}{2}\xi^2 $ . 但是當一個跳躍到達時， $ v $ 更改級別並按照相同的過程恢復。如果滿足 Feller 條件，則永遠不會擴散到 0；如果跳躍分佈是正的，它永遠不會跳到 0。對於覆蓋它的有限到達率跳躍：它不能達到 0。如果不滿足 Feller 條件，因為擴散與跳躍無關，並且無跳躍機率為正，即使在沒有跳轉的條件下，該過程也可以達到 0。所以條件又是 if-and-only-if。