GBM股票價格模型是否有E小號（噸）小號(噸)S(t)不受波動的影響？
許多作者聲稱，如果您通過 GBM 對股票價格進行建模， $ E[S(t)]=e^{\mu t} $ ，因此預期與波動率無關。
我一直在這個圈子裡跑來跑去。首先，直覺上似乎有些懷疑。但無論哪種方式，我都可以爭論。
可能會影響這一點的一件事是，我相信人們在考慮 SDE 的解決方案時很草率。解決方案是
$$ S(t)=S(0)e^{(\mu-\frac{\sigma^2}{2})t+\sigma W_t} $$
即，對數正態分佈。
假設您正在查看一隻股票，該股票去年從100美元上漲至 105美元，波動率為 20%。似乎很多人認為對數正態的參數是這樣的 $ \mu=.05 $ 和 $ \sigma=.20 $ 但是，在我看來，對數正態的“mu”的實際參數確實是 $ .05-\frac{.20^2}{2} $ ，更準確地說，它是一個較小的數字，因為連續複利會產生影響（即，即使 $ \sigma $ 為 0，一個數字略小於 $ .05 $ 將是正確的利率， $ ln(1.05) $ 準確地說，連續複利會給你 5% 的一年回報。
因此，以這種方式，GBM 的波動性似乎降低了回報，因為它被減去了。
另一方面，對數正態的平均值為 $ e^{\omega+\frac{\sigma^2}{2}} $ ， 因此，如果 $ \omega=\mu-\frac{\sigma^2}{2} $ 你可以說服自己他們確實，取消，離開 $ e^{\mu t} $ . 但是，如果這是正確的，那麼在 GBM 下演變的價格的預期值是否真的不依賴於波動性？如果沒有別的，這似乎很難與 vol 非常高的情況相吻合，以至於 $ \mu-\sigma^2/2 $ 可能會變得非常消極（嘗試 $ \mu=.10 $ 和 $ \sigma=.7 $ ) 因此幾乎可以保證 $ lim $ $ t\to \infty $ 的 $ S(t) $ 歸零。
當我們對所有不確定性值進行平均時，我們會發現期望值。如果你取一個正態分佈的變數 $ X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) $ , 那麼平均值只是 $ \mathbb{E}(X) =\mu $ 無論 $ \sigma^2 $ 是。在這種情況下，基礎模型是 $ X = \mu + \sigma \eta $ 和 $ \eta \sim \mathcal{N}(0,1) $ ，我們只是嘈雜地觀察它。
幾何布朗運動等效地只是一階 ODE 的雜訊版本
$ dS(t) = \mu S(t) dt $ ,
因此，預期等於這個簡單的股票價格基礎模型似乎是合理的。這只是 $ S(t) = e^{\mu t} $ （我們假設恆定的初始價格為 1），這正是您可以從 SDE 中費力推導出的結果。