計價器必須是可交易資產嗎
我認為我們使用基礎和計價來創建複製投資組合，即計價必須是可交易資產（假設簡單的二項式模型）。但是我看到了一些例子，這些例子明確表明計價器不必是可交易的。
有人可以幫我解決這個問題，謝謝！
這是我問過自己的一個有趣的問題。以下是我的看法。
讓我們考慮一個經濟體 $ (\Omega,\mathcal{F},P) $ 配備過濾器 $ (\mathcal{F})_{t \geq 0} $ 由交易資產組成 $ S_t $ 和現金 $ N_t $ 由以下隨機微分方程指定：
$$ \begin{align} \text{d}S_t&=\alpha(t,S_t)\text{d}t+\beta(t,S_t)\text{d}W_t \[3pt] \text{d}N_t&=a(t,N_t)\text{d}t+b(t,N_t)\text{d}\tilde{W}_t \end{align} $$ 我們的經濟體有一份寫在資產上的衍生合約 $ S_t $ 帶支付功能 $ h(\cdot) $ 成熟時 $ T $ . 根據衍生定價理論，價格 $ V_t $ 導數由以下度量下的期望給出 $ P^N $ 與numéraire相關的 $ N_t $ , 取決於可用資訊： $$ \tag{1}V_t=N_tE^N\left(\frac{h(S_T)}{N_T}\bigg|\mathcal{F}t\right) $$ 定義函式 $ g(\cdot) $ 為了 $ (s,n) \in \mathbb{R}+^2 $ : $$ g(s,n)=\frac{h(s)}{n} $$ 按馬爾可夫性質 $ - $ 參見例如定理 6.3.1。在Shreve的金融隨機微積分 II $ - $ 我們有 $ 0\leq t\leq T $ : $$ \tag{2} V_t=v(t,S_t,N_t) $$ 因此由伊藤引理： $$ \begin{align} \tag{3}\text{d}V_t=& \ \frac{\partial v}{\partial t}\text{d}t+\left(\frac{\partial v}{\partial S}\text{d}S_t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 v}{\partial S^2}(\text{d}S_t)^2\right)+\left(\frac{\partial v}{\partial N}\text{d}N_t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 v}{\partial N^2}(\text{d}N_t)^2\right) \ &+\left(\frac{\partial^2v}{\partial S\partial N}\text{d}S_t\text{d}N_t\right) \end{align} $$ 我們注意到兩點：
- 可觀察性：通過方程 $ (2) $ 衍生品今天的價值取決於標的資產的今天價值和numéraire $ N_t $ ，因此numéraire至少需要是可觀察的，即它不能是某個潛在的狀態變數。如果numéraire是不可觀察的，我們就無法計算價格。
- 可交易性：最重要的是，通過方程式 $ (3) $ 我們觀察到衍生品價值的變化也取決於標的資產價值和numéraire的變化。如果我們要建立對沖投資組合，我們需要能夠交易numéraire $ N_t $ 以抵消因計價波動引起的衍生品價值波動。
參考
Shreve, S. (2004)。金融隨機微積分 II，施普林格。
@AFK (2016)。“Feynman Kac 和度量選擇”，Quant Stack Exchange。
@Quantuple（2016 年）“應用 Feynman Kac 時的其他計價選擇”，Quant Stack Exchange。