當且僅當等價鞅測度存在一個<小號10(1+r)<b一個<小號01(1+r)<ba < S_0^1(1+r)< b
鍛煉 ：
我們考慮一個時期的市場 $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb P, S^0, S^1) $ , 其中樣本空間 $ \Omega $ 具有有限數量的元素，並且 $ \sigma- $ 代數 $ \mathcal{F} = 2^\Omega $ . 此外，與 $ S^0 $ 我們用初始值來表示零風險資產 $ S_0^0=1 $ 當時 $ t=0 $ 和利率 $ r>-1 $ （意思是 $ S_1^0 = 1+r $ ）。和 $ S^1 $ 我們用初始值來象徵具有風險的資產 $ S_0^1 >0 $ 當時 $ t=0 $ 並具有價值 $ S_1^1 $ 當時 $ t=1 $ 這是一個隨機變數。
讓 $ \mathbb{P}[{\omega}]>0 $ 對所有人 $ \omega \in \Omega $ . 我們定義： $$ a:=\min S_1^1(\omega) \quad \text{and} \quad b:=\max S_1^1(\omega) $$ 我們假設 $ 0<a<b $ . 證明市場是無套利的當且僅當它是： $$ a<S_0^1(1+r)<b $$
試圖 ：
由於我們必須找到市場無套利的iff條件，這與證明存在等價的鞅測度相同。這來自以下定理：
資產定價基本定理：****當且僅當存在等價的鞅測度時，金融市場是無套利的。
所以讓 $ \Omega = {\omega_1, \dots , \omega_n} $ . 考慮 $ \mathbb{Q} $ 成為機率測度。為了 $ \mathbb{Q} $ 要成為鞅，它必須是：
$$ S_1 \in L^1(\mathbb Q) \quad \text{and} \quad S_0 = \mathbb{E}_\mathbb Q\bigg[\frac{S_1}{1+r}\bigg] $$
這些條件意味著：
$$ |S_1|_1 < + \infty \Rightarrow |S_1^1(\omega_1) + \cdots + S_1^1(\omega_n)| < + \infty $$
此外，我們有：
$$ S_0^1 = \frac{S_1^1(\omega_1)}{1+r}\mathbb{Q}(\omega_1) + \cdots + \frac{S_1^1(\omega_n)}{1+r}\mathbb{Q}(\omega_n) $$ $$ \Rightarrow $$ $$ S_0^1(1+r) = S_1^1(\omega_1)\mathbb{Q}(\omega_1) + \cdots + S_1^1(\omega_n)\mathbb{Q}(\omega_n) $$
現在，對於 $ \mathbb{Q} $ 要成為等價的鞅測度，它必須是 $ \mathbb{Q} \sim \mathbb{P} $ ，因此由於 $ \mathbb{P}[{\omega}] >0 $ 它也必須是 $ \mathbb{Q}(\omega) >0 $ .
最後，對於 $ \mathbb{Q} $ 要成為一個合法的機率度量，它的組成部分必須總和為 $ 1 $ .
因此，我們產生以下條件系統：
$$ \begin{cases} S_1^1(\omega_1)\mathbb{Q}(\omega_1) + \cdots + S_1^1(\omega_n)\mathbb{Q}(\omega_n) &=S_0^1(1+r) \ |S_1^1(\omega_1) + \cdots + S_1^1(\omega_n)| &< + \infty \ \mathbb{Q}(\omega_1) + \cdots + \mathbb{Q}(\omega_n) &= 1 \ \mathbb{Q}(\omega_1) &> 0 \ \quad \vdots \ \mathbb{Q}(\omega_n) &>0 \end{cases} $$
**問題：**現在如何著手證明如果 $ a = \min S_1^1(\omega) $ 和 $ b = \max S_1^1(\omega) $ 那麼對於存在等效的鞅測度，它應該是：
$$ a<S_0^1(1+r)<b $$
假使，假設：
$$ S_0^1(1+r)\leq a,b $$
投資組合套利 $ V_t $ 定義為：
$$ V_0\leq0, \quad P(V_1\geq0)=1, \quad P(V_1>0)>0 $$
考慮按利率借款 $ r $ 購買風險資產，使得 $ V_0=0 $ . 那麼，假設 $ a\not= b $ :
$$ \begin{align} \min_{\omega}V_1(\omega)=a-S_0^1(1+r)\geq 0 \ \max_{\omega}V_1(\omega)=b-S_0^1(1+r)> 0 \end{align} $$
因此存在套利。如果 $ S_0^1(1+r)\geq a,b $ 但在這種情況下，風險資產被賣空，資金以一定利率借出 $ r $ . 因此，為了防止套利，市場必須強制執行以下約束：
$$ a< S_0^1(1+r)< b $$
不等式不一定需要嚴格，我們可以等價地有：
$$ a\leq S_0^1(1+r)\leq b $$