跳躍擴散模型的歐拉方案
跳躍擴散模型（如 Merton）具有以下 SDE： $$ dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_t dW_t+S_tdJ_t $$ 在哪裡 $$ J_t=\sum_{i=1}^{N_t}(\xi_i - 1) $$ $ \xi_i $ - iidn $ N_t $ - Poisson過程
我們在歐拉方案中是否有這樣的東西？
$$ S_{t+\Delta t}=S_t+\mu S_t\Delta t+\sigma S_t\Delta W_t+S_t\Delta J_t $$
在哪裡 $$ \Delta J_t = \sum_{i=N_{t}}^{N_{t+\Delta t}}(\xi_i -1) $$ 所以要計算 $ \Delta J_t $ 我們必須從Poisson分佈中模擬隨機變數 $ \lambda \Delta t $ 這表示之間的跳躍次數 $ t $ 和 $ t+\Delta t $ 然後模擬這個跳躍次數 $ \xi $ ， 我對嗎？我知道這個 SDE 有解決方案，但我想比較結果。哪個數 $ N $ （時間步長）通常是最佳的近似解？
通常，我們採用歐拉方案 $ \Delta\ln(S_t) $ ， 不是為了 $ \Delta S_t $ .
讓我們將跳轉部分指定為
$$ S_{t+}=S_{t}J\Rightarrow dS_t=S_t(J-1) $$ 在哪裡 $ J $ 是一個嚴格的正隨機變數。（注意：在默頓的領導下，我們會有 $ \ln(J)\sim N(\mu_J,\sigma_J^2) $ 和 $ \mathrm{E}(J)=e^{\mu_J+\frac{1}{2}\sigma_J^2} $ )
對於解決方案，我們得出：
$$ \begin{align} \frac{dS_t}{S_t}&=\mu dt + \sigma dW_t+(J-1)dN_t\ y_t&=\ln{S_t}\ \Rightarrow dy_t&=\left( \mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \right)dt+\sigma dW_t+\left(\ln (S_{t+})-(ln S_t)\right)dN_t\ &=\left( \mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \right)dt+\sigma dW_t+\ln(J) dN_t\ \Rightarrow y_t&=\left( \mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \right)t+\sigma W_t + \sum_{i=i}^{N_t}\ln(J_i)\ \Rightarrow S_t&=S_0e^{\left( \mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \right)t+\sigma W_t} \prod_{i=1}^{N_t}J_i\ \end{align} $$
假設我們這裡有默頓跳躍擴散模型。那麼歐拉離散化是：
$$ \begin{align} y_t&\leftarrow y_0\ \epsilon_{1,t} & \sim N(0,\sigma^2)\ \epsilon_{2,t} & \sim N(\mu_J,\sigma_J^2)\ N_t&\sim \left{ \begin{array}{1} 0 & p=e^{-\lambda\Delta t}\ 1 & 1-p\end{array} \right. \ y_{t+\Delta t}&\leftarrow y_t+\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}\epsilon_1+N_t\epsilon_{2,t} \end{align} $$ 和 $ S_{t}=e^{y_t} $ 因此。如果你在風險中性度量下進行模擬，那麼當然 $ \mu=r_f-\lambda\mathrm{E}^{\mathbb{Q}}(J-1) $ .
HTH？