例如 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程 - 澄清dX噸dX噸dX_t推導使用圓周率噸圓周率噸pi_t,圓周率噸圓周率噸Pi_t
我有一個安全利率為 r 和風險資產為 S 的市場
$$ \frac{dS_t}{S_t}=(r+Y_t)dt+\sigma dW_t \quad \quad (1) $$ $$ dY_t = - \lambda Y_t +dB_t \quad \quad (2) $$ 其中 W, B 是具有相關性的布朗運動 $ \rho $ . 我正在推導效用最大化問題的 HJB 方程
$$ \max_{X} E[logX_T] \quad \quad (3) $$ V 函式取決於 t、X 和 Y。HJB 將是使用 Ito 公式導出的 dV 函式的漂移。因此，初始 dV 函式將具有以下形式
$$ dV(t,X_t,Y_t)=V_t dt + V_x dX_t + V_ydY_t + \frac{1}{2} \big{(} V_{xx} d \langle X \rangle_t + 2 V_{xy} d \langle X,Y \rangle_t + V_{yy} d \langle Y \rangle_t \big{)} \quad \quad (4) $$ 所以我應該得到下面的 HJB 方程
$$ \sup_{\pi} \big{(} V_t + V_x (r+y \pi)x - \lambda y V_y + \frac{1}{2} (V_{xx}\sigma^2 \pi^2 x^2 + 2V_{xy} \sigma \rho \pi x + V_{yy} ) \big{)} =0 \quad \quad (5) $$ 使用以下動力學 $$ dX_t=X_t(r+ \pi y )dt + \pi \sigma X_t dW_t \quad \quad (6) $$ $$ $$ 現在，我不太了解 $ dX_t $ 是如何創建的 $ \pi $ 在這裡發揮作用。我的猜測是它代表了投資組合的權重和 $ dX_t $ 代表資本的變化。
在理論（學習筆記）中，我有一個變數的通用公式，它看起來像
$$ dV(X_t^{\Pi},t)=V_t + X_t^{\Pi} (r + \Pi’ \mu)V_x + \frac{\Pi_t’ \Sigma \Pi_t}{2} (X_t^{\Pi})^2 V_{xx})dt + V_x X_t^{\Pi} \Pi_t’ \sigma dW_t \quad \quad (7) $$ 的使用 $ \pi, \Pi $ 組件讓我感到困惑。任何人都可以澄清使用背後的邏輯 $ \pi $ 和 $ dX_t $ 請問推導？
我們假設
$$ \begin{align*} \frac{dX_t}{X_t} &= (r+\pi Y_t)dt + \pi\sigma dW_t,\tag{1}\ dY_t &= -\lambda Y_t + dB_t.\tag{2} \end{align*} $$ 從 $ (2) $ , $$ \begin{align*} Y_t = Y_0 e^{-\lambda t}+ e^{-\lambda t}\int_0^t e^{\lambda u} dB_u. \end{align*} $$ 此外，從 $ (1) $ , $$ \begin{align*} \ln X_T &= \ln X_0 + (r-\frac{1}{2}\pi^2\sigma^2)T + \pi \int_0^TY_t dt + \pi\sigma W_T\ &=\ln X_0 + (r-\frac{1}{2}\pi^2\sigma^2)T +\pi Y_0 \int_0^Te^{-\lambda t} dt \ &\qquad\quad \ \ , +\pi\int_0^Te^{-\lambda t}\int_0^t e^{\lambda u} dB_u dt + \pi\sigma W_T. \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} E(\ln X_T) &= \ln X_0 + (r-\frac{1}{2}\pi^2\sigma^2)T +\pi Y_0 \int_0^Te^{-\lambda t} dt \ &=\ln X_0 + (r-\frac{1}{2}\pi^2\sigma^2)T + \frac{\pi Y_0}{\lambda}(1-e^{-\lambda T})\ &=\ln X_0 - rT -\frac{1}{2}\sigma^2T \left(\pi - \frac{Y_0}{\lambda\sigma^2T}(1-e^{-\lambda T})\right)^2 +\frac{Y_0^2}{\lambda^2\sigma^2T}(1-e^{-\lambda T})^2. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} \max_{\pi}E(\ln X_T) &= \ln X_0 - rT + \frac{Y_0^2}{\lambda^2\sigma^2T}(1-e^{-\lambda T})^2, \end{align*} $$ 這是在 $$ \begin{align*} \pi = \frac{Y_0}{\lambda\sigma^2T}(1-e^{-\lambda T}). \end{align*} $$