3 相關布朗運動的指數期望
考慮，
是否與給定的布朗運動相關
我想計算 ,
,
儘管我只用一個指數布朗運動解決了一個期望問題，但我想不出解決這個問題的方法
除了@StackG 的出色答案，我想提供一個基於多元布朗運動當然是多元正態分佈的概念以及它的矩生成函式的答案。
我們知道
$$ \mathbb{E}\left(W_{i,t}W_{j,t}\right)=\rho_{i,j}t $$
即一個 $ N $ 維向量 $ X $ 的相關布朗運動有時間 $ t $ -分佈（假設 $ t_0=0 $ :
$$ X_t\sim \mathbb{N}\left(\mathbf{\mu},\mathbf{\Sigma}\right)=\mathbb{N}\left( \begin{bmatrix}0\ \ldots \\ldots \ 0\end{bmatrix}, t\times\begin{bmatrix}1 & \rho_{1,2} & \ldots & \rho_{1,N}\ \rho_{1,2} & 1 & \ldots & \rho_{2,N}\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \ \rho_{1,N}&\rho_{2,N}&\ldots & 1 \end{bmatrix}\right) $$
多元正態分佈的 MGF 為
$$ M_X(\mathbf{t})\equiv\mathbb{E}\left( e^{\mathbf{t}^T\mathbf{X}}\right)=e^{\mathbf{t}^T\mathbf{\mu}+\frac{1}{2}\mathbf{t}^T\mathbf{\Sigma}\mathbf{t}} $$
在你的情況下， $ \mathbf{\mu}=0 $ 和 $ \mathbf{t}^T=\begin{pmatrix}\sigma_1&\sigma_2&\sigma_3\end{pmatrix} $ . 因此，
$$ \begin{align} M_X(\begin{pmatrix}\sigma_1&\sigma_2&\sigma_3\end{pmatrix})&=e^{\frac{1}{2}\begin{pmatrix}\sigma_1&\sigma_2&\sigma_3\end{pmatrix}\mathbf{\Sigma}\begin{pmatrix}\sigma_1 \ \sigma_2 \ \sigma_3\end{pmatrix}}\ &=e^{\frac{1}{2}t\left(\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2+2\sigma_1\sigma_2\rho_{1,2}+2\sigma_1\sigma_3\rho_{1,3}+2\sigma_2\sigma_3\rho_{2,3}\right)} \end{align} $$