期望∫噸011+在2sd在s∫0噸11+在s2d在sint_0^t frac{1}{1+W_s^2} text dW_s
我正在嘗試計算
$$ \int\limits_0^t \frac{1}{1+W_s^2} \text dW_s, $$
在哪裡 $ (W_t) $ 是維納過程。
有人告訴我，這個期望值為零。有人可以提供任何線索，為什麼它會為零？
通過構造，伊藤積分， $ I_t=\int_0^t X_s\text{d}W_s $ , 是鞅，如果 $ \int_0^t \mathbb{E}[X_s^2]\text{d}s<\infty $ .
鞅屬性， $ \mathbb{E}_s[I_t]=I_s $ 暗示 $ \mathbb{E}[I_t]=I_0=0 $ .
因為 $ W_s\overset{d}{=}\sqrt{s}Z $ ， 在哪裡 $ Z\sim N(0,1) $ ，我們確實有 $$ \begin{align*} \int_0^t\mathbb{E}\left[\frac{1}{(1+W_s^2)^2}\right]\text{d}s &= \int_0^t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb{R}\frac{1}{(1+sz^2)^2}e^{-\frac{1}{2}z^2}\text{d}z\text{d}s \ &\leq \int_0^t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb{R}e^{-\frac{1}{2}z^2}\text{d}z\text{d}s\ &=\int_0^t1\text{d}s \ &=t<\infty. \end{align*} $$
@NHN建議使用上述論點， $ \frac{1}{(1+x^2)^2}\leq1 $ 對所有人 $ x\in\mathbb{R} $ , 直接得到 $$ \begin{align*} \int_0^t\mathbb{E}\left[\frac{1}{(1+W_s^2)^2}\right]\text{d}s &\leq \int_0^t\mathbb{E}\left[1\right]=t<\infty. \end{align*} $$