CIR過程的期望
CIR 流程如下
$$ dr_t = (\alpha - \beta r_t)dt + \sigma \sqrt{r_t}dW_t. $$
可以證明該 SDE 存在唯一解，但無法獲得該解的表達式。但是，根據 Shreve（第 152 頁），我們可以獲得解的期望值。用函式應用 Ito 引理 $ f(t,x)=e^{\beta t}x $ 我們獲得 $$ e^{\beta t}r_t = r_0 + \frac{\alpha}{\beta}(e^{\beta t} -1) + \sigma \int_0^t (e^{\beta t}-1)+ \sigma \int_0^t e^{\beta u} \sqrt{r_u}dW_u. $$ 所以他得到 $$ e^{\beta t}E [r_t] = r_0 + \frac{\alpha}{\beta}(e^{\beta t} -1) $$ 因為他說 $$ E \left[\sigma \int_0^t e^{\beta u} \sqrt{r_u}dW_u \right]=0. $$他說 Ito 積分的期望為零，但這並不總是正確的。如果 $$ E\left[ \int_0^T |\sigma e^{\beta u} \sqrt{r_u}|^2du \right]< \infty \tag*{($\star$)} $$然後過程 $ {I_t}:=\left{\sigma \int_0^t e^{\beta u} \sqrt{r_u}dW_u ; 0 \leq t \leq T \right} $ 是鞅，期望為零。但是如果（ $ \star $ ) 不成立，則過程 $ {I_t} $ 只是局部鞅，不一定是（真）鞅，而且上述期望可能不為零。由於我們沒有解決方案的表達式，我不認為條件 ( $ \star $ ) 可以驗證。是否有任何其他論據可以讓我們得出期望為零的結論？你知道他們處理這個問題的任何論文/書籍嗎？
請看一下這個問題：
https
://math.stackexchange.com/questions/944181/martingality-theorem-solving-expectation-of-a-stochastic-integral/953779#953779 您的問題有兩種不同的證明.但在一般情況下，您可以嘗試通過使用 fubini 定理來證明您的 lebesgues 積分是有限的，該定理允許您在積分內移動期望，因為積分內的東西是正的。