期望兩個相關過程？
考慮以下：
$$ dn_t = [\theta_n(t)-a_nn_t]dt + \sigma_ndW_{t}^n \ dr_t = [\theta_r(t)-\rho_{r,n}\sigma_n\sigma_r-a_rr_t]dt + \sigma_rdW_{t}^r $$ 解釋 $ dn_t $ 作為名義短期利率的擴散和 $ dr_t $ 作為短期實際利率的擴散。現在寫出以下期望： $$ \mathbb{E^Q}[I_{T}] = I_0\mathbb{E^Q}[e^{\int_0^Tn(s)-r(s)ds}] $$ 可以進一步簡化嗎？我考慮將術語分開並分別計算期望值並相乘，但事實是這兩個過程是相關的，這向我表明這是不可能的。任何人？
我解釋之間的區別 $ n(s) $ 和 $ r(s) $ 在積分中作為名義短期利率和實際短期利率之間的價差。注意數量 $ I_t $ 代表當時的通貨膨脹 $ t $ . 這在直覺上是有道理的：未來時間的預期通貨膨脹取決於未來同一時間的預期價差。
我只是想知道我是否可以進一步深入代數並獲得更簡單/更優雅的東西。或者也許有人知道我可以諮詢的討論？
請注意，正如在這個問題中一樣，對於 $ s\ge t\ge 0 $ ,
$$ \begin{align*} n_s = e^{-a_n(s-t)}n_t + \int_t^s \theta_n(u)e^{-a_n(s-u)} du + \int_t^s \sigma_n e^{-a_n(s-u)} dW^n_u, \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} r_s = e^{-a_r(s-t)}r_t + \int_t^s (\theta_r(u) -\rho_{r,n}\sigma_n\sigma_r) e^{-a_r(s-u)} du + \int_t^s \sigma_r e^{-a_r(s-u)} dW^r_u. \end{align*} $$ 而且， $$ \begin{align*} \int_t^T n_s ds = \frac{1}{a_n}\Big(1-e^{-a_n(T-t)} \Big) n_t &+ \int_t^T!! \frac{\theta_n(u)}{a_n}\Big(1-e^{-a_n(T-u)} \Big)du \ &+ \int_t^T !!\frac{\sigma_n}{a_n}\Big(1-e^{-a_n(T-u)} \Big)dW_u^n, \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} \int_t^T r_s ds= \frac{1}{a_r}\Big(1-e^{-a_r(T-t)} \Big) n_t &+ \int_t^T!! \frac{\theta_r(u)-\rho_{r,n}\sigma_n\sigma_r}{a_r}\Big(1-e^{-a_r(T-u)} \Big)du \ &+ \int_t^T !!\frac{\sigma_r}{a_r}\Big(1-e^{-a_r(T-u)} \Big)dW_u^r. \end{align*} $$ 讓 $ B_n(t, T) = \frac{1}{a_n}\Big(1-e^{-a_n(T-u)} \Big) $ ， 和 $ B_r(t, T) = \frac{1}{a_r}\Big(1-e^{-a_r(T-u)} \Big) $ . 然後， $$ \begin{align*} \int_t^T n_s ds &= B_n(t, T) n_t + \int_t^T \theta_n(u) B_n(u, T) du + \int_t^T \sigma_n B_n(u, T) dW_u^n, \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} \int_t^T r_s ds &= B_r(t, T) r_t + \int_t^T (\theta_r(u)-\rho_{r,n}\sigma_n\sigma_r) B_r(u, T) du + \int_t^T \sigma_r B_r(u, T) dW_u^r. \end{align*} $$ 而且， $$ \begin{align*} E\left(e^{\int_t^T (n_s-r_s) ds} \mid \mathcal{F}t \right) &= e^{B_n(t, T) n_t-B_r(t, T) r_t+\int_t^T \theta_n(u) B_n(u, T) du -\int_t^T (\theta_r(u)-\rho{r,n}\sigma_n\sigma_r) B_r(u, T) du}\ &\quad \times e^{\frac{1}{2}\int_t^T \sigma_n^2 B_n(u, T)^2 du+\frac{1}{2}\int_t^T \sigma_r^2 B_r(u, T)^2 du - \int_t^T \rho_{r,n}\sigma_n\sigma_r B_n(u, T)B_r(u, T)du}. \end{align*} $$ 而且， $$ \begin{align*} \int_t^T \sigma_n^2 B_n(u, T)^2 du &= -\frac{\sigma_n^2}{a_n^2}\big(B_n(t, T) -T+t\big)-\frac{\sigma_n^2}{2a_n}B_n(t, T)^2,\ \int_t^T \sigma_r^2 B_r(u, T)^2 du &= -\frac{\sigma_r^2}{a_r^2}\big(B_r(t, T) -T+t\big)-\frac{\sigma_r^2}{2a_r}B_r(t, T)^2 \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} \int_t^T B_n(u, T)B_r(u, T)du = \frac{1}{a_na_r}\left[T-t - B_n(t, T)-B_r(T, t)+\frac{1}{a_n+a_r}\left(1-e^{-(a_n+a_r)(T-t)}\right) \right]. \end{align*} $$ 所以， $$ \begin{align*} E\left(e^{\int_t^T (n_s-r_s) ds} \mid \mathcal{F}t \right) &= A_n(t, T) A_r(t, T) C(t, T) e^{B_n(t, T) n_t-B_r(t, T) r_t}, \end{align*} $$ 在哪裡 $$ \begin{align*} A_n(t, T) &= e^{\int_t^T \theta_n(u) B_n(u, T) du -\frac{\sigma_n^2}{2a_n^2}\big(B_n(t, T) -T+t\big)-\frac{\sigma_n^2}{4a_n}B_n(t, T)^2}, \ A_r(t, T) &= e^{-\int_t^T (\theta_r(u)-\rho{r,n}\sigma_n\sigma_r) B_r(u, T) du -\frac{\sigma_r^2}{2a_r^2}\big(B_r(t, T) -T+t\big)-\frac{\sigma_r^2}{4a_r}B_r(t, T)^2}, \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} C(t, T) = e^{\frac{-\rho_{r,n}\sigma_n\sigma_r}{a_na_r}\left[T-t - B_n(t, T)-B_r(T, t)+\frac{1}{a_n+a_r}\left(1-e^{-(a_n+a_r)(T-t)}\right) \right]} \end{align*} $$ 請注意，這類似於赫爾懷特零息債券定價公式。