對維納過程函式的期望

如果 $ W_t $ 是一個標準的維納過程，那麼我應該如何證明 $ E \left[ \int\limits_{0}^{t} \frac{1}{1+W_s^2} dW_s \right] = 0 $ ?

證明使用了 Ito 積分的鞅性質。對於適應的隨機過程 $ X_t $ 這樣

$$ \mathbb{E}\int_0^{t}|X_s|^2ds <\infty $$

我們有

$$ \mathbb{E}\int_0^{t}X_sdW_s =0 $$

現在你的結果如下設置

$$ X_t=\frac{1}{W_t^2+1}. $$

要看到滿足平方可積性條件，請注意

$$ \mathbb{E}\int_0^{t}\frac{1}{(W_s^2+1)^2}ds <\int_0^{t}\frac{1}{(0+1)^2}ds=\int_0^{t}1ds<\infty $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/57083