找到支付函式在的機率[10,20][10,20][10,20]
瞬間 $ t=0 $ 我們買了有到期日的期權 $ T=2 $ . 該期權的收益函式由下式給出：
$$ f=(\max_{t\in[0,T]} S_t -110)^{+} $$ 在哪裡 $ S_t $ 滿足
$$ dS_t=15dW_t $$ $$ S_0=95 $$ 尋找機率 $ P(f\in[10,20]) $ . 用標準正態分佈的累積密度函式來表示。
明顯地
$$ S_t=95+15W_t $$ 但我不知道我該如何走得更遠。請問有什麼幫助嗎？
一般來說：
$ P(f\in[10,20]) = P(120 \leq S_t \leq 130) = P(S_t \leq 130) - P(S_t \leq 120) $
也就是說，期權在 10 到 20 之間的機率與股票在 120 到 130 之間的機率相同。股票在 120 到 130 之間的機率是股票小於 130 的機率減去它是小於 120。如果你是一個更視覺化的人，請考慮這張照片：如果我們知道 $ W_t $ 遵循無漂移維納過程：
$ W_t - W_0 \sim N(0, 15^2t) \rightarrow S_t \sim N(95, 15^2t) $
如果 $ S_t \sim N(95, 15^2t) $ 然後 $ P(S_t \leq 130) = $ 機率。一個正常的隨機變數，平均值為 95 和標準。偏差 15t 這只是該正態隨機變數的累積分佈函式 (CDF)。
在這裡，CDF 是 $ \Phi( (x-95) / (15 \sqrt(t))) $ ， 在哪裡 $ \Phi $ 是標準法線的 CDF。所以答案是
$$ \Phi( (130-95) / (15 \sqrt t)) - \Phi( (120-95) / (15 \sqrt t)) $$ 更新：我認為這是一個簡單的期權收益，但這實際上是一個更棘手的問題，因為它是一個回顧期權，將最大股票價值從 0 變為 2。這個更複雜問題的總體構想是我們正在研究最大值維納過程運動而不是維納過程本身。Daniel Herlemont 的隨機過程和相關分佈，第 2 部分應該會有所幫助。但我目前沒有解決這個問題的辦法。
也許我熟悉完全不同的數學金融背景，但無論如何我都會放棄我的兩分錢。
首先，請注意
$$ \int d Wt $$ 是隨機積分，不易與標準方法積分。我希望你已經預設了隨機微積分的工具。
以下基於無套利的方法是由默頓首先提出的。
- 我們根據價格尋找衍生品價格 $ S_t $ ，表示為 $ \Pi(S_0) $
- 您根據底層證券形成投資組合 $ S $ 和導數 $ f $ , 具有投資組合動態 $ dV_t = V_t (\omega_t^s \frac{dS_t}{S_t} + \omega_t^f \frac{df}{f} ) $ ， 在哪裡 $ \omega $ 表示投資組合的兩個權重
- 選擇這些權重，以便我們“殺死”隨機分量 $ dW $
- 我們現在有 $ dV_t = V_t k dt $
- 由於無套利， $ k $ 必須為零（沒有增長分量 $ S_t $ 任何一個）
- 解決 $ f $