找到與相關布朗運動的線性組合相關的布朗運動
我有 $ N $ 相關標準一維布朗運動 $ W_1,\ldots,W_N $ 有相關矩陣 $ \rho $ 我考慮了這個過程 $ Z_t \equiv \sum_{i=1}^N \mu_i (t) W_t $ 在哪裡 $ \mu_i $ 是至少是分段線性的確定性函式。我怎麼能找到一個功能 $ \mu $ 這樣的過程 $ Y_t $ 被定義為 $ \mu(t) Y_t = Z_t $ 將是一個標準的布朗運動？
讓我們計算二次協變：$$ d \langle Z,Z \rangle_t = \left(\sum_{i=1}^N \mu_i(t)^2 + 2 \sum_{1\leq i < j \leq N} \mu_i (t) \mu_j (t) \rho_{i,j}\right) dt $$在哪裡 $ \rho_{i,j} $ 是之間的瞬時相關性 $ W_{i} $ 和 $ W_{j} $ . 所以如果我們定義$$ \alpha (t) \equiv \sum_{i=1}^N \mu_i(t)^2 + 2 \sum_{1\leq i < j \leq N} \mu_i (t) \mu_j (t) \rho_{i,j} $$和 $ W_t \equiv \frac{1}{\sqrt{\alpha(t)}} Z_t $ 我們看到$$ d \langle W,W \rangle_t = dt. $$作為 $ W $ 在 $ 0 $ 幾乎肯定等於零，因為 $ W_i $ 是，唯一最後一個能夠應用 Lévy 表徵（連續布朗運動）定理的假設是 $ W $ 是一個連續的鞅。它顯然是一個鞅，它的連續性取決於 $ \mu_i $ 是分段線性的，但不一定是連續的。
一般來說，你找不到這樣的 $ \mu(t) $ 這樣 $ Y={Y_t, t \ge 0} $ ， 被定義為 $ \mu(t) Y_t = Z_t $ , 是鞅，除非所有 $ \mu_i(t) $ 是相同正函式的標量倍數。
事實上，請注意 $$ \begin{align*} Y_t &=\frac{1}{\mu(t)}Z_t\ &\equiv \sum_{i=1}^N \hat{\mu}_i(t) W_i(t) \end{align*} $$ 為了 $ 0\le s \le t $ , $$ \begin{align*} E\left(Y_t ,|,\mathcal{F}s \right) &=E\left(\sum{i=1}^N \hat{\mu}_i(t) W_i(t) ,|,\mathcal{F}s \right)\ &=E\left(\sum{i=1}^N \hat{\mu}i(t) \left(W_i(t)-W_i(s)\right) + \sum{i=1}^N \hat{\mu}_i(t) W_i(s) ,|,\mathcal{F}s \right)\ &=\sum{i=1}^N \hat{\mu}_i(t) W_i(s). \end{align*} $$ 那麼，對於 $ Y $ 成為鞅， $ \hat{\mu}_i(t) $ ， 為了 $ i=1, \ldots, N $ , 是常數。換句話說， $ \mu_i(t) = \alpha_i, \mu(t) $ ， 在哪裡， $ \alpha_i $ ， 為了 $ i=1, \ldots, N $ , 是常數，並且 $ \mu(t) $ 是正函式。