給定問問mathbb Q和X噸X噸X_t是問問mathbb Q-布朗尼，找到d問d磷d問d磷frac{dmathbb Q}{dmathbb P}/ Brownian 或 Radon-Nikodym 導數的唯一性
問題：
讓 $ T >0 $ ， 然後讓 $ (\Omega, \mathscr F, { \mathscr F_t }{t \in [0,T]}, \mathbb P) $ 是一個過濾的機率空間，其中 $ \mathscr F_t = \mathscr F_t^W $ 在哪裡 $ W = {W_t}{t \in [0,T]} $ 是標準的 $ \mathbb P $ -布朗運動。
讓 $ X = {X_t}_{t \in [0,T]} $ 是一個隨機過程，其中 $ X_t = W_t + \sin t $ ， 然後讓 $ \mathbb Q $ 是一個等價的機率測度 st $ X $ 是標準的 $ \mathbb Q $ -布朗運動。
給 $ \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} $ .
吉薩諾夫定理：
讓 $ T >0 $ ， 然後讓 $ (\Omega, \mathscr F, { \mathscr F_t }{t \in [0,T]}, \mathbb P) $ 是一個過濾的機率空間，其中 $ \mathscr F_t = \mathscr F_t^W $ 在哪裡 $ W = {W_t}{t \in [0,T]} $ 是標準 $ \mathbb P $ -布朗運動。
讓 Girsanov 核 $ {\theta_t}{t \in [0,T]} $ 做一個 $ \mathscr F_t $ -適應隨機過程 $ \int_0^T \theta_s^2 ds < \infty $ 作為和 $ {L_t}{t \in [0,T]} $ 是一個 $ ( \mathscr F_t , \mathbb P) $ 鞅在哪裡
$$ L_t := \exp(-\int_0^t \theta_s dW_s - \frac 1 2 \int_0^t \theta_s^2 ds) $$
讓 $ \mathbb Q $ 是由下定義的機率測度
$$ Q(A) = \int_A L_T dP \ \forall A \in \ \mathscr F $$
或者$$ L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} $$
然後 $ {W_t^Q}_{t \in [0,T]} $ 被定義為
$$ W_t^Q := W_t + \int_0^t \theta_s ds $$
是標準的 $ \mathbb Q $ -布朗運動。
給出的解決方案：
$$ X_t = W_t + \int_0^t \cos s ds $$
讓 $ \theta_t = \cos t $ :
- 這是 $ \mathscr F_t $ -適應
- $ \int_0^T \theta_s^2 ds < \infty $ 作為
- $ E[\exp(\frac 1 2 \int_0^T \theta_t^2 dt)] < \infty $
然後 $ {L_t}_{t \in [0,T]} $ 是一個 $ ( \mathscr F_t , \mathbb P) $ 鞅，根據 Novikov 的條件，其中
$$ L_t := \exp(-\int_0^t \cos s dW_s - \frac 1 2 \int_0^t \cos^2 s ds) $$
因此，根據 Girsanov 定理，我們有
$$ \frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P} = L_T…? $$
最後一行到底是怎麼來的？
我覺得奇怪的是，吉爾薩諾夫定理定義 $ \mathbb Q $ 然後結束 $ X_t $ 是標準的 $ \mathbb Q $ -布朗運動，而問題表明存在一些 $ \mathbb Q $ 英石 $ X_t $ 是標準的 $ \mathbb Q $ -布朗運動，然後詢問 $ \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} $ . 問題可能是錯誤的嗎？
這麼說 $ L_T $ 確實是需要的密度 $ \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} $ ，我認為我們需要使用Girsanov 定理的逆），或者問題應該改為給我們 $ \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} $ 然後讓我們證明 $ L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} $ 可能表明 $ E[\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} | \mathscr F_t] = L_t $ 或其他路線。
我嘗試了一些稍微不同的東西：
我定義 $ \hat{\mathbb P} $ 英石
$$ L_T = \frac{d\hat{\mathbb P}}{d\mathbb P} $$
或者
$$ \hat{\mathbb P} = \int_A L_T d\mathbb P $$
由吉爾薩諾夫定理得出 $ X_t $ 是標準的 $ \hat{\mathbb P} $ -布朗運動。因為我們被告知有一些 $ \mathbb Q $ 相當於 $ \mathbb P $ 英石 $ X_t $ 也是標準的 $ \mathbb Q $ -布朗運動，它遵循 Radon-Nikodym 導數的唯一性
$$ \frac{d\hat{\mathbb P}}{d\mathbb P} = \frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P} $$
$ \therefore, \frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P} $ 是（誰）給的 $ L_T $ .
那正確嗎？我想我在某處錯過了一步。
那麼，如果這樣的理由是正確的，這是否確實是給出的解決方案的意思，但只是省略了指出 Radon-Nikodym 導數的唯一性？
基於此編輯：即使 Radon-Nikodym 衍生物是獨一無二的， $ \mathbb Q $ 可能不是唯一的？如果是這樣，是不是這樣 $ \hat{\mathbb P} $ 只是眾多可能之一的候選者 $ \mathbb Q $ 的？
我想我們得出結論 $ \hat{\mathbb P} = \mathbb Q $ 基於 $ X_t $ 在這兩種度量下都是標準的布朗運動。有什麼建議嗎？布朗運動測量的唯一性還是什麼？
恕我直言，確實沒有正確說明問題，因為作為“解決方案”提供的 Radon-Nikodym 導數並不是定義度量的唯一方法 $ \mathbb{Q} $ 相當於 $ \mathbb{P} $ 並在其中 $ X_t $ 是鞅。就拿
$$ \frac {d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} =\mathcal{E}\left(-\int_0^t \cos(s) dW_s + a\right) $$ 對於任何 $ a \in \mathbb{R} $ （或就此而言的任何有限變化過程，重點是 $ a $ 不應該在二次（協）變化方面有貢獻）和 $ \mathcal {E}(.) $ 數字隨機（或 Doleans-Dade）指數。請注意，提供的解決方案對應於揀貨 $ a=0 $ . 因此，我認為正如您在問題中提到的那樣，練習應該以相反的方式編寫。類似的東西：表明，給定以下 Radon-Nikodym 導數規範，得到的度量 $ \mathbb{Q} $ 相當於原來的度量 $ \mathbb{P} $ 並且這樣 $ (X_t)_{t\in [0,T]} $ 是一個 $ (\mathbb{Q},\mathcal{F}_t^W) $ -鞅。