幫助求解隨機微分方程

我正在嘗試解決以下 SDE $$ dX(t)=rdt+aX(t)dW(t),\ t>0 $$ $$ X(0)=x $$ 其中 W() 是維納過程，r,a 和 x 是實數。我已經使用積分因子進行了 $$ F(t)=exp^{-aW(t)+(1/2)a^{2}t} $$ 我使用 Ito 的引理計算了 dF

$$ dF_{t}=(1/2)a^{2}{F}{t}dt-a{F}{t}dW+(1/2)a^{2}{F}{t}dW^{2}=a^{2}F{t}dt-aF_{t}dW_{t} $$ 然後我繼續尋找 $$ d(X_{t}F_{t})=X_{t}dF_{t}+F_{t}dX_{t}+dX_{t}dF_{t}=rF_{t}dt+(a-1)X_{t}F_{t}dW_{t} $$ 我有兩個問題：

1. 到目前為止我是正確的嗎？
2. 我如何繼續最終解決 SDE 並找到 X？

使用您的 SDE $ F $ ，我得到：

$$ dXdF = -a^2XFdt $$

$$ FdX = rFdt + aXFdW $$

$$ XdF = a^2XF dt -aXF dW $$

所以，加起來：

$$ d(XF) = rF dt, $$

給予

$$ X_t = F^{-1}_t X_0 + rF^{-1}_t \int_0^t F_u du $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/63438