隨機過程
如何導出 CIR 過程的增量？
對於具有 SDE 的 CIR 過程 $$ dr_t = \alpha (\mu - r_t) dt + \sigma \sqrt{r_t} dW_t $$ 我怎樣才能得到離散時間間隔上的增量 $ r_t $ 至 $ r_{t+1} $ ?
我不完全確定我了解您想要實現的目標。您似乎對離散化 CIR SDE 感興趣。這可以使用 Euler-Murayama 方案對時間間隔進行等距分解來完成 $ [0, T] $ , $ {0=t_0<\dots<t_n=T} $ .
首先，讓我們編寫模型動力學： $$ r_t=r_0+\alpha\int_0^t(\mu-r_s)ds+\sigma\int_0^t\sqrt{r_s}dW_s $$
我們需要離散化這個過程： $$ r_{t+\Delta t}=r_t+\alpha(\mu-r_t)\Delta t+\sigma\sqrt{r_t}W_{\Delta t} $$ 和 $ \Delta t=\frac{T}{n} $ 和 $ W_{\Delta t}\sim\mathcal N\left(0,\frac{T}{n}\right)\Rightarrow W_{\Delta t}=\sqrt{\frac{T}{n}}\varepsilon, $ 和 $ \varepsilon $ 為標準正態隨機變數。
最後，我們可以使用梯形規則對模擬的 CIR 利率進行數值積分併計算您需要的內容（例如，蒙地卡羅零息債券價格）。