布朗運動的二次變分公式是如何推導出來的？
這是對 quant SE的這個問題的跟進：
問題提到了布朗運動： $ X_t = X_0 + \int_0^t\mu ds + \int_0^t\sigma dW_t $ , 二次變化計算為
$ dX_t dX_t = \sigma^2 dW_t dW_t = \sigma^2 dt $
我無法理解與時間的差異如何（ $ \mu ds $ ) 從等式中消除。當我對方程的微分形式求平方時：
$ (dX_t)^2 = (\mu dt + \sigma dW_t)^2 = \mu^2 dtdt + \sigma^2 dW_tdW_t + \mu \sigma dt dW_t $ . 從這裡開始，我發現很難將其簡化為上述形式。
老實說，隨機過程的二次變分是一個高級主題，從第一原理嚴格計算它是一個研究生級別的機率問題。
第 1 部分：二次變分：非正式“證明”
首先，二次變分是如何定義的？對於隨機過程 $ X_t $ ，二次變化，表示 $ <X_t> $ , 定義為（鬆散地說，我在最後提供了嚴格的定義）：
$$ <X_t>=\lim_{n \to \infty} \left(\sum_{i=1}^{i=n}(X_i-X_{i-1})^2\right) $$
所以用語言來說，二次變化表示平變異數的總和，因為網格尺寸越來越細。限制是機率意義上的（見本文結尾）。
現在，我們有：
$$ (X_i-X_{i-1})^2=X_i^2-2X_iX_{i-1}+X_{i-1}^2 $$
通常， $ X_0:=0 $ ，所以忽略 $ X_0 $ 術語，我們有：
$ dX_i^2=\mu^2di^2+\sigma^2dW_i^2+2\mu di \sigma dW_i $
請注意，作為 $ n \to \infty $ , $ di \to 0 $ ， 所以 $ di^2 \to 0 $ 甚至更快。所以忽略 $ di^2 $ 術語（和所有其他 $ di $ - 階項高於 1)，我們可以專注於 $ dW_i^2 $ 學期。讓我們嘗試計算它的期望和變異數：
$$ \mathbb{E}[dW_i^2]=\mathbb{E}[W(di)^2]=\mathbb{E}[\left(\sqrt{di}W(1)\right)^2]=di\mathbb{E}[W(1)]=di $$
$$ Var\left(dW_i^2\right)=\mathbb{E}[\left(\sqrt{di}W(1)\right)^4]-\mathbb{E}[\left(\sqrt{di}W(1)\right)^2]^2=di^2\mathbb{E}[W(1)^4]-di^2 $$
作為 $ n \to \infty $ , $ di^2 \to 0 $ 比…快 $ di \to 0 $ ，所以變異數收斂到零。這基本上就是有人寫的意思 $ dW_t^2=dt $
請注意，上述內容在數學上並不嚴謹，只是“揮手”以獲得直覺的理解。嚴格證明如下：
二次變分：“嚴格”證明
形式上，維納過程的二次變分 $ W_t $ 定義如下：
$ \forall \epsilon > 0 $ :
$$ \left<W\right>t:=\lim{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\left|\sum_{i=1}^{i=n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2-t\right|>\epsilon\right)=0 $$
換句話說：二次變分收斂到“ $ t $ “，去 $ 1 $ ，因為網格尺寸變得無限精細。
證明是相當技術性的，我所知道的最好的證明是在這些講義中：但是證明長達 5 頁（它們幾乎肯定地證明了收斂，這是一種比“機率”更強的收斂，因此它意味著機率收斂） .