如何應用 Feynman-Kac 公式？

我最近一直在學習Feynman-Kac，我理解了其中的基本思想。然而，我被困在實際計算特定問題的顯式解決方案中。

例如，假設我有以下終值問題：

$$ F_t + \frac{1}{2}\sigma^2x^2F_{xx}=1 $$ $$ F(x,T) = \ln(x)^4,~x>0 $$ 我將如何計算 $ F(x,t) $ 以封閉形式，給定右手邊的封閉形式 $ (ln(x))^4 $ 使用費曼-卡茨？

根據你的方程的形式，我們可以考慮 SDE

$$ \begin{align*} dX_t = \sigma X_t dW_t, \end{align*} $$ 在哪裡 $ W $ 是度量下的標準布朗運動 $ Q $ . 因此 $ 0 \leq t \leq T $ , $$ \begin{align*} X_T = X_t \exp\left(-\frac{1}{2}\sigma^2 (T-t) + \sigma \int_t^T dW_s \right), \end{align*} $$ 基於 Feynman-Kac 公式，解由下式給出 $$ \begin{align*} F(t, x) &= E^Q\left(\int_t^T ds + (\ln X_T)^4 \mid X_t = x\right)\ &=(T-t) + E^Q\left[\left(\ln x -\frac{1}{2}\sigma^2 (T-t) + \sigma \int_t^T dW_s\right)^4\right]. \end{align*} $$ 其餘的現在很簡單，被省略了。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/22072