如何計算涉及隨機過程的共變異數

我在看一些舊文章：平方布朗運動的時間積分變異數

我沒有掌握2個推導-

1. $ \text{Cov}\left(\int_{0}^{t}W^3_sdW_s,,,\int_{0}^{t}W^2_sds\right) $ . 我知道這最終可以寫成 $ \mathbb{E} \left[ \left( \int_{0}^{t}W^3_sdW_s \right) \left( \int_{0}^{t}W^2_sds\right) \right] $ ， 因為 $ \mathbb{E} \left[ \int_{0}^{t}W^3_sdW_s \right] = 0 $ . 但是，如何從這裡進行最後的表達呢？
2. 如何計算表達式 $ \int_{0}^{t}\mathbb{E}[W^6_s]ds $

任何指針將不勝感激。

1. 讓我們使用以下表達式（源自您連結中 Quantuple 的答案），這將幫助我們使用Ito 的 Isometry來整理產品

$$ \begin{align} \int^t_0 W^2_s ds = 2 \int^t_0 (t-s)W_s dW_s + {\frac {t^2} 2} \end{align} $$

現在看期望 $$ \begin{align} {\mathbb E}\Bigl[ \int^t_0 W^3_s dW_s \cdot \int^t_0 W^2_s ds \Bigr] &= {\mathbb E}\Bigl[ \int^t_0 W^3_s dW_s \cdot \Bigl( 2 \int^t_0 (t-s)W_s dW_s + {\frac {t^2} 2} \Bigr) \Bigr] \ &= {\mathbb E}\Bigl[ {\frac {t^2} 2}\int^t_0 W^3_s dW_s + 2 \int^t_0 W^3_s dW_s \cdot \int^t_0 (t-s)W_s dW_s \Bigr] \end{align} $$

正如您在上面確定的，總和中第一項的期望是 $ 0 $ ，我們可以在第二個上使用 Ito 等距

$$ \begin{align} {\mathbb E}\Bigl[ \int^t_0 W^3_s dW_s \cdot \int^t_0 W^2_s ds \Bigr] &= 0 + {\mathbb E}\Bigl[ 2 \int^t_0 (t-s) W^4_s ds \Bigr] \ &= 2 \int^t_0 (t-s) {\mathbb E}\bigl[ W^4_s \bigr] ds \ &= 2 \int^t_0 (t-s) 3s^2 ds \ &= {\frac 1 2} t^4 \ \end{align} $$

在最初的問題中，表達式具有乘法前因數 $ 2 $ , $ 4 $ 和 $ 6 $ , 所以這乘以 $ 24t^4 $

在上面，我使用了表達式 $ {\mathbb E}\bigl[ W^4_s \bigr] = 3s^2 $ ，它來自您連結的問題中給出的降級公式，即。 $$ \begin{align} {\mathbb E}\bigl[ W^{2n}_t \bigr] = {\frac {(2n)!} {2^n n!}} t^n \end{align} $$

2. 這可以使用相同的降壓公式來解決 $$ \begin{align} \int^t_0 {\mathbb E} \bigl[ W^6_s \bigr] ds &= \int^t_0 {\frac {6!} {2^3 3!}} s^3 ds\ &= 15 \Bigl[ {\frac 1 4} s^4 \Bigr]^t_0\ &= {\frac {15} 4} t^4 \end{align} $$
3. Fubini 雙積分的極限

$$ \begin{align} \int_0^t \int^s_0 W_u dW_u ds = \int_0^t \int^t_u W_u ds dW_u \end{align} $$

這種限制的變化是必需的，以便雙積分在相同部分上積分 $ (s,u) $ 空間，如圖所示

基本上，我們可以通過讓 $ u $ 逃離 $ 0 $ 至 $ s $ ，然後讓 $ s $ 逃離 $ 0 $ 至 $ t $ ，或者如果我們切換我們需要讓 $ s $ 逃離 $ u $ 至 $ t $ 然後讓 $ u $ 逃離 $ 0 $ 至 $ t $

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/57206