如何計算這個 Ito 積分的均值和變異數？
我試圖用伊藤引理來計算這個積分， $ W_{t} $ 是維納過程。 $$ I_{T}=\int_{0}^{T}\sqrt{|W_{t}|}dW_{t} $$
我們有 $ d f\left(W_{t}\right)=f^{\prime}\left(W_{t}\right) d W_{t}+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}\left(W_{t}\right) d t $ , 通過讓 $ f(W_{t})=\frac{2}{3}|W_{t}|^{\frac{3}{2}} $ ， 我們有$$ d(\frac{2}{3}|W_{t}|^{\frac{3}{2}})=\sqrt{|W_{t}|}dW_{t}+\frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{|W_{t}|}}dt $$然後我們可以寫$$ I_{T}=\frac{2}{3}|W_{T}|^{\frac{3}{2}}-\int_{0}^{T}\frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{|W_{t}|}}dt $$我不知道這是否正確，而且我是隨機積分的新手。如果以上正確，如何計算 $ \mathbb{E}[I_{T}] $ 和 $ Var(I_{T}) $ .
積分 $ I_T $ 是一個伊藤隨機積分，因此它的期望是 $ 0 $ . 這是因為 $ I_T $ 是一個鞅（參見例如 Shreve 中的 Theorem 4.3.1），因此： $$ \mathbb{E}[I_T]=I_0=0 $$ 您還可以通過考慮隨機積分的定義來看到這一點，它涉及形式的項之和 $ f(W_{t_i})(W_{t_{i+1}}-W_{t_i}) $ ，並使用布朗增量的獨立性 $ W_{t_i}-W_0 $ 和 $ W_{t_{i+1}}-W_{t_i} $ .
綜上所述，我們得到： $$ \mathbb{V}[I_T]=\mathbb{E}[I_T^2] $$ 給定 $ I_T $ 是一個伊藤積分並且這個過程 $ Z_t\triangleq \sqrt{|W_t|} $ 適應於產生的過濾 $ W_t $ ，由伊藤等距： $$ \begin{align} \mathbb{E}[I_T^2]&=\mathbb{E}\left[\int_0^TZ_t^2\text{d}t\right] \[3pt] &=\int_0^T\mathbb{E}[|W_t|]\text{d}t \end{align} $$ $ W_t $ 是正態分佈的。通過正態分佈的對稱性，期望 $ |W_t| $ 等於預期的兩倍 $ 1_{{W_t\geq0}}W_t $ ，即： $$ \begin{align} \mathbb{E}[1_{{W_t\geq0}}W_t]&=\int_0^\infty w\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{w^2}{2t}}\text{d}w \[3pt] &=\int_0^\infty v\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{v^2}{2}}\sqrt{t}\text{d}v \[3pt] &=\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\int_0^\infty ve^{-\frac{v^2}{2}}\text{d}v \[8pt] &=\sqrt{\frac{t}{2\pi}} \end{align} $$ 我們在哪裡改變了變數 $ v=w/\sqrt{t} $ . 因此 $ \mathbb{E}[|W_t|]=\sqrt{2t/\pi} $ ，它來自： $$ \begin{align} \mathbb{V}[I_T]&=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^T\sqrt{t}\text{d}t \[6pt] &=\sqrt{\frac{8}{9\pi}}T^{3/2} \end{align} $$
參考
Shreve, S. (2004)。金融隨機微積分 II，施普林格。