如何通過有限差分方程校準 SDE？
我想要一個用於校準任意隨機微分方程中未知參數的通用框架。我提出的方法在理論上似乎合理，但在實踐中存在問題。你能幫我嗎？
方法
假設我們有 SDE $ dX=\mu(t,X)dt+\sigma(t,X)dW $ ， 在哪裡 $ W(t) $ 是維納過程。假設我們知道時間序列的實現（“歷史數據”） $ X(t_n)=X_n $ 為了 $ n=0,\ldots,N $ . 並進一步假設函式 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 包含未知的實參。
想法是將 SDE 轉換為有限差分方程（近似成立）：
$$ X_{n+1}-X_{n} = \mu(t, X_n) (t_{n+1}-t_n)+ \sigma(t, X_n)\sqrt{t_{n+1}-t_n} Z_n. $$ 這裡： $ n=0,\ldots,N-1 $ 和 $ Z_n $ 是獨立的隨機變數，每個變數都服從標準正態分佈。在這裡，我使用了啟發式事實 $ dW $ 正常，均值為 0，變異數 $ dt $ .
解決 $ Z_n $ 給 $ Z_n $ 作為未知參數的函式：
$$ Z_n =\frac{X_{n+1} - X_{n} - \mu(t, X_n)(t_{n+1}-t_n)}{\sigma(t, X_n) \sqrt{t_{n+1} - t_n}}. $$ 時間序列的可能性由下式給出
$$ \prod_{n=0}^{N-1} \phi(Z_n) = \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \right)^N \exp \left( -\frac{1}{2} \sum Z_{n}^{2} \right). $$ 這裡， $ \phi $ 是標準正態的機率密度。最大化可能性需要最小化 $ \sum Z_n^2 $ . 這給出了最大概似估計。 問題
考慮 SDE $ dX = \sigma dW $ , 未知 $ \sigma $ . 給定歷史數據，按照上述方法，我們得到
$$ \sum Z_n^2 = \frac{1}{\sigma} \sum \frac{X_{n+1} - X_{n}}{\sqrt{t_{n+1} - t_n}}. $$ 但是，這沒有最低限度 $ \sigma $ （除了也許 $ \sigma = \infty $ ，這是沒有意義的）。
來自 SDE $ dX_t=\sigma dW_t $ ,
$$ \begin{align*} X_{n+1} - X_n =\sigma \sqrt{t_{n+1}-t_n} Z_n. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} X_{n+1}\mid X_n \sim N\left(X_n, , \left(\sigma \sqrt{t_{n+1}-t_n},\right)^2 \right), \end{align*} $$ 條件密度函式由下式給出 $$ \begin{align*} \phi(x\mid X_n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma \sqrt{t_{n+1}-t_n}}e^{-\frac{(x-X_n)^2}{2 \sigma^2 (t_{n+1}-t_n)}}. \end{align*} $$ 然後，條件對數概似函式由下式給出 $$ \begin{align*} L(X_1, \ldots, X_{n+1}) &= \sum_{i=1}^n\ln \Big(\phi(X_{i+1}\mid X_i)\Big)\ &=-\frac{n}{2}\ln(2\pi) -\frac{n}{2}\ln(t_{i+1}-t_i)-n\ln\sigma - \sum_{i=1}^n\frac{(X_{i+1}-X_i)^2}{2 \sigma^2 (t_{n+1}-t_n)}. \end{align*} $$ 現在，您可以最小化函式以獲得 $ \sigma $ 估計。