如何檢查是否和[經驗{∫噸0是2在1+是2在d你}]<∞和[經驗⁡{∫0噸是在21+是在2d在}]<∞E [exp { int_0^t frac{Y_u^2}{1+Y_u^2}du }]< infty

$ dY_t=2Y_tdt+2\sqrt{1+Y_t^2}dW_t $ 在哪裡 $ W_t $ 是 $ P- $ 布朗運動（維納過程）。

我定義了一個新的度量 $ Q $ 其中核密度（在 Girsanov 定理中）為 $$ \phi_t = \frac{Y_t}{\sqrt{1+Y_t^2}} $$ 現在我需要確保滿足諾維科夫條件。因此，我需要確保： $$ E^P [\exp { \int_0^t \frac{Y_u^2}{1+Y_u^2}du }]< \infty. $$ 是嗎？是否有可能證明這一點，我該如何證明這一點？

如果你改變變數 $ Y_t = \sinh U_t $ 並應用 Ito 然後你立即得到

$$ dU_t = 2dW_t $$

所以你的 SDE 的解決方案是$$ Y_t = \sinh\left(2W_t + C\right) $$

和 $ C $ 一個常數。

然後回答你的問題就足以注意到

$$ \frac{Y_u}{\sqrt{1+Y_u^2}}=\tanh(U_t) $$

這是有界的，因此您的表達式是有限的，因為被積函式是有界的。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/43468