如何計算這個隨機積分的變異數？
我是隨機微積分的新手，我做了一個練習，但我不知道它是否正確，所以我需要有更多經驗的人來檢查它是否正確。
我正在嘗試計算以下隨機變數的變異數：
$$ Z=\int _0^T e^{W_t} dW_t $$ 所以我們有：
$ \text{Var}(Z)=\text{Var}\left(\int _0^T e^{W_t} dW_t\right) $
根據伊藤等距，我們有：
$$ \mathbb{E}\left[\int _0^T e^{2W_t} dt\right] $$ 然後我們可以帶入期望得到：
$$ \int _0^T \mathbb{E}\left[e^{2W_t}\right] dt = \int_0^T e^{2t} dt = \frac{e^{2T}}{2}-\frac{1}{2} $$ 此外，如果上述結果是正確的，我應該得到什麼而不是問題要求我計算
$$ \text{Var}\left(\int _0^T e^{W_t} dt \right) $$ 它應該只是對數正態分佈隨機變數的變異數，在區間的極值中計算，或者不是？
計算變異數
$$ \text{Var}\left(\int _0^T e^{W_t} dt \right), $$ 我們需要計算 $$ \begin{align*} E\left( \left(\int _0^T e^{W_t} dt \right)^2 \right) &= \int_0^T!!!!\int_0^T E\left(e^{W_s+W_t} \right) ds,dt. \end{align*} $$ 請注意，對於 $ 0 \le s, t \le T $ , $$ \begin{align*} W_s+W_t = \begin{cases} W_t -W_s + 2 W_s, & \text{ if } s \le t,\ W_s -W_t + 2 W_t, & \text{ else}. \end{cases} \end{align*} $$ 也就是說，作為兩個獨立正態隨機變數的總和， $ W_s+W_t $ 是正常的，平均 $ 0 $ 和變異數 $$ \begin{align*} \text{Var}(W_s+W_t) = \begin{cases} t+3s, & \text{ if } s \le t,\ s+3t, & \text{ else}. \end{cases} \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} E\left( \left(\int _0^T e^{W_t} dt \right)^2 \right) &= \int_0^T!!!!\int_0^T E\left(e^{W_s+W_t} \right) ds,dt\ &=\int_0^T\left[\int_0^t E\left(e^{W_s+W_t} \right) ds+\int_t^T E\left(e^{W_s+W_t} \right) ds\right]dt\ &=\int_0^T\left[\int_0^t e^{\frac{1}{2}t + \frac{3}{2}s} ds+\int_t^T e^{\frac{1}{2}s + \frac{3}{2}t} ds\right]dt. \end{align*} $$ 剩下的就是簡單的微積分。
$$ Var(\int _0^T e^{W_t} dt) $$ $$ = E[(\int _0^T e^{W_t} dt)^2] - (E[\int _0^T e^{W_t} dt])^2 $$ 現在
$$ E[\int _0^T e^{W_t} dt] = \int _0^T E[e^{W_t}] dt $$ 回想起那個 $ W_t $ 是正常的。使用 mgf
至於
$$ E[(\int _0^T e^{W_t} dt)^2] $$ 我會嘗試遵循這個：
$$ E[(\int_0^T e^{W_t} dt)^2] $$ $$ = E[(\int_0^T e^{W_t} dt)(\int _0^T e^{W_s} ds)] $$ $$ = E[\int_0^T \int_0^T e^{W_t} e^{W_s} dt ds] $$ $$ = \int_0^T \int_0^T E[e^{W_t} e^{W_s}] dt ds $$ 不失一般性，假設 $ s < t $ . 然後通過考慮指數鞅，我們有
$$ E[e^{W_t} e^{W_s}] = E[E[e^{W_t} e^{W_s}|\mathscr F_s]] $$ $$ = E[e^{W_s}E[e^{W_t} |\mathscr F_s]] $$ $$ = E[e^{W_s}e^{\frac{t}{2}}E[e^{\frac{-t}{2}}e^{W_t} |\mathscr F_s]] $$ $$ = E[e^{W_s}e^{\frac{t}{2}}e^{\frac{-s}{2}}e^{W_s}] $$ $$ = e^{\frac{t}{2}}e^{\frac{-s}{2}}E[e^{W_s}e^{W_s}] $$ $$ = e^{\frac{t}{2}}e^{\frac{-s}{2}}E[e^{2W_s}] $$ 注意 $ 2W_s $ 也很正常。再次使用 mgf
因此
$$ \int_0^T \int_0^T E[e^{W_t} e^{W_s}] dt ds $$ $$ = \int_0^T e^{\frac{t}{2}} dt \int_0^T e^{\frac{-s}{2}}E[e^{2W_s}] ds $$