如何使用 Itos 公式表達一個過程
讓 $ F(t,x) $ 成為 PDE 的解 $$ F_t(t,x)=aF_x(t,x)+\frac{1}{2}F_{xx}(t,x),t>0 $$ $$ F(0,x)=g(x) $$對於某些功能 $ g $ . 讓 $ X_t $ 是一個由定義的過程 $$ dx_t=aX(t)dt+dW(t) $$ 現在考慮這個過程 $ F(t-s,X_s) $ .
怎麼用伊藤表達 $ dF(t-s,X(s)) $ ?
歡迎！
首先，我想建議的 PDE 應該是 $$ F_t=axF_x+\frac{1}{2}F_{xx}. $$ 也許你錯過了一個 $ x $ 在……面前 $ F_x $ 學期。但是，如果不是這種情況，請告訴我。
鑑於 $ F(t-s,X_s) $ , $ s $ 是變數 $ {\rm d} $ 是尊重，而 $ t $ 是一個參數。因此，為了減少歧義，讓我們使用 $ F(T-t,X_t) $ 相反，在哪裡 $ t\in\left[0,T\right] $ .
注意 $ F(T-t,x) $ 是一個函式 $ t $ 和 $ x $ . 為了清楚起見，讓我們定義 $ G(t,x)=F(T-t,x) $ . 根據伊藤公式， $$ \begin{align} &{\rm d}F(T-t,X_t)\ &={\rm d}G(t,X_t)\ &=\frac{\partial G}{\partial t}(t,X_t),{\rm d}t+\frac{\partial G}{\partial x}(t,X_t),{\rm d}X_t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2G}{\partial x^2}(t,X_t),{\rm d}\left<X\right>_t. \end{align} $$
前提是 $$ {\rm d}X_t=aX_t,{\rm d}t+{\rm d}W_t, $$ 我們有 $ {\rm d}\left<X\right>_t={\rm d}t $ . 將這兩個結果代入上式，我們得到 $$ \begin{align} &{\rm d}F(T-t,X_t)\ &=\left(\frac{\partial G}{\partial t}(t,X_t)+aX_t\frac{\partial G}{\partial x}(t,X_t)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2G}{\partial x^2}(t,X_t)\right){\rm d}t+\frac{\partial G}{\partial x}(t,X_t),{\rm d}W_t\ &=\left(\frac{\partial G}{\partial t}+ax\frac{\partial G}{\partial x}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2G}{\partial x^2}\right)(t,X_t),{\rm d}t+\frac{\partial G}{\partial x}(t,X_t),{\rm d}W_t. \end{align} $$
回顧 $ G(t,x)=F(T-t,x) $ , 很明顯 $$ \begin{align} \frac{\partial G}{\partial t}(t,x)&=-\frac{\partial F}{\partial t}(T-t,x),\ \frac{\partial G}{\partial x}(t,x)&=\frac{\partial F}{\partial x}(T-t,x),\ \frac{\partial^2G}{\partial x^2}(t,x)&=\frac{\partial^2F}{\partial x^2}(T-t,x). \end{align} $$ 因此，我們得到 $$ \begin{align} &{\rm d}F(T-t,X_t)\ &=\left(-\frac{\partial F}{\partial t}+ax\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}\right)(T-t,X_t),{\rm d}t+\frac{\partial F}{\partial x}(T-t,X_t),{\rm d}W_t. \end{align} $$
最後，注意 PDE 給出 $$ -\frac{\partial F}{\partial t}+ax\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}=0, $$ 我們最終得到 $$ {\rm d}F(T-t,X_t)=\frac{\partial F}{\partial x}(T-t,X_t),{\rm d}W_t. $$
而已！希望這對您有所幫助。