如何為跳躍擴散過程的歐式看漲/看跌期權定價？
讓我們有下一個跳躍擴散隨機過程：
$$ S_t = S_0 e^{\sigma W_t + (v-\frac{\sigma ^2}{2})t}\prod_{i=1}^{N_t}(1+J_i) $$ 在哪裡 $ W_t $ 是布朗運動，因此 $ G_t \equiv e^{\sigma W_t + (v-\frac{\sigma ^2}{2})t} $ 是幾何布朗運動， $ N_t $ 是Poisson過程和 $ R_t \equiv \prod_{i=1}^{N_t}(1+J_i) $ 是乘法Poisson複合過程。
假設存在鞅機率 $ \mathbb{Q} $ 並且在 $ \mathbb{Q} $ Girsanov Theorem hipótesis 有效。此外假設在 $ \mathbb{Q} $ $ N_t $ 有Poisson率 $ \widehat{\lambda} $ .
在這種情況下，我必須為 S_t 的歐洲看跌期權定價，即
$$ P=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}\mathbb{Q}((k-S_T)+|S_t) $$ 我也是這麼想的，不知道對不對。
$$ \begin{eqnarray} \mathbb{E}\mathbb{Q}((k-S_T)|S_t)+& = & \mathbb{E}\mathbb{Q}((k-S_0 e^{\sigma W_T + (v-\frac{\sigma ^2}{2})T}\prod{i=1}^{N_T}(1+J_i))+|S_t)\ & = & \mathbb{E}\mathbb{Q}((k-S_t e^{\sigma (W_T-W_t) + (v-\frac{\sigma ^2}{2})(T-t)}\prod_{i={N_{t}+1}}^{N_T}(1+J_i))+)\ & = & \mathbb{E}\mathbb{Q}(\mathbb{E}\mathbb{Q}((k-S_t e^{\sigma (W_T-W_t) + (v-\frac{\sigma ^2}{2})(T-t)}\prod{i={N_{t}+1}}^{N_T}(1+J_i))+|N_T-N_t=n))\ & = & \mathbb{P}\mathbb{Q}(N_T-N_t=n))(\mathbb{E}\mathbb{Q}((k-S_t e^{\sigma (W_T-W_t) + (v-\frac{\sigma ^2}{2})(T-t)}\prod{i={1}}^{n}(1+J_i)_+) \end{eqnarray} $$ 所以最後，
$$ \mathbb{P}\mathbb{Q}(N_T-N_t=n)=e^{-\widehat{\lambda}(t-t)}\frac{(\widehat{\lambda} (T-t))^n}{n!} $$ 和 $ \mathbb{E}\mathbb{Q}((k-S_t e^{\sigma (W_T-W_t) + (v-\frac{\sigma ^2}{2})(T-t)}\prod_{i={1}}^{n}(1+J_i)_+) $ 可以使用 Black-Sholes 通常的公式計算。
這是可以的還是另一種方式？謝謝！:)
主要有三個問題。根據我的評論，一個是缺乏跳躍分佈的規範（我假設有一個 $ J_0 = 0 $ 在時間 0（否則，該過程不考慮沒有跳轉）。除非 $ P (J \leq -1) = 0 $ ，你的定價過程有問題，Girsanov 定理不適用。看看為什麼：
$ S_t = S_0 e^{\sigma W_t + (\nu - \frac{\sigma^2}{2}) t} \prod_{i=1}^N (1 + J_i) \ = S_0 e^{\sigma W_t + (\nu - \frac{\sigma^2}{2}) t + \sum_{i=1}^N \log (1 + J_i)} $
顯然，Radon-Nikodym 導數不能導出，除非 $ (1 + J_i) \gt 0 $ .
假設跳躍的正確分佈，第二個問題涉及您的風險中性度量。假設您正在使用 $ W_t $ 為簡單起見，而不是另一個布朗運動，您的新度量似乎沒有考慮跳躍，並且決不能確定您正在處理鞅。
最後，從對跳躍次數的期望到跳躍的機率時存在一個問題 $ n $ 跳躍。
$ P = E_{\mathbb{Q}} \left[ E_{\mathbb{Q}} \left[ (k - X_T \prod_{i = 0}^n (1 + J_i))^+ \mid N_T - N_t = n \right] \right] \ = \sum_{n = 0}^\infty P_{\mathbb{Q}} (N_T - N_t = n) E_{\mathbb{Q}} \left[ (k - X_T \prod_{i = 0}^n (1 + J_i))^+ \right] $
在哪裡 $ X_T $ 顯然是沒有跳躍的價格過程。雖然可以使用 BS 計算期望值（使用適當的風險中性度量），但跳躍次數的無界性可能是有問題的，儘管截斷可以給出合理的近似值。
你必須對分佈做出進一步的假設 $ J_i $ s。例如，如果 $ J_i $ s 是 iid 正常的，你的期權定價問題變成了Merton (1976)的問題，它的解決方案是無限和。如果 $ J_i $ s 被假定為雙指數，你最終得到Kou (2004)模型，它有一個解析解。此外，價格過程中存在三種不同的隨機性來源。你是否認為 $ W_t, N_t $ ， 和 $ J_i $ 是相互獨立的嗎？