如何證明 SABR 是對數正態的b=1b=1beta=1和正常的b=0b=0beta=0?

為了 $ \beta = 1 $ SABR 是對數正態分佈的，對於 $ \beta = 0 $ SABR 是正態分佈的。這是幾乎每篇關於 SABR 的論文中都提到的一個非常常見的屬性。但是我找不到數學推導（推導可能真的很簡單），這導致了我的問題：

我如何證明 SABR 是對數正態的 $ \beta=1 $ 和正常的 $ \beta=0 $ ?

首先，重要的是要澄清底層不一定是正態/對數正態，而是針對特殊情況 $ \beta $ 標的資產是正態/對數正態取決於波動性的實現。正如@ilovevolatility 的回答中提到的那樣。簡單的隨機微積分將顯示您提到的屬性。對於已實現的波動率，以下成立： $$ dS_t = S_t^\beta\sigma_tdW_t, $$ 為了 $ \beta=1 $ , $ dS_t=S_t\sigma_tdW_t $ , $ S_t $ 變成幾何布朗運動，這意味著在時間 $ t $ 的分佈 $ \log S_t $ 給出： $$ \log S_T \sim N(S_t,\sigma_t^2(T-t)) $$ 為了 $ \beta=0 $ : $$ dS_t=\sigma_tdW_t $$ 可以寫成整數形式 $$ S_T=S_t + \int^T_t \sigma_t^2 dW_u $$ 根據隨機微積分理論，積分呈正態分佈，均值為 0，變異數為 $ \sigma_t^2(T-t) $ : $$ S_T \sim N(S_t,\sigma_t^2(T-t)) $$

給定（條件）波動性的實現，對於 $ \beta = 0 $ 和對數正態 $ \beta = 1 $

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/41749