如何使用 Girsanov 定理來證明在噸^Wt^hat{W_t}是一個磷^P^hat{mathbb P}-布朗運動？
讓 $ T > 0 $ ， 然後讓 $ (\Omega, \mathscr F, {\mathscr F_t}{t \in [0,T]}, \mathbb P) $ 是一個過濾的機率空間，其中 $ \mathbb P = \tilde{\mathbb P} $ （風險中性措施）和 $ \mathscr F_t = \mathscr F_t^{{W}} = \mathscr F_t^{\tilde{W}} $ 在哪裡 $ W = \tilde{W} = (\tilde{W_t}){t \in [0,T]} = ({W_t})_{t \in [0,T]} $ 是標準的 $ \mathbb P=\tilde{\mathbb P} $ -布朗運動。
定義前向測量 $ \hat{\mathbb P} $ :
$$ A_T := \frac{d \hat{\mathbb P}}{d \mathbb P} = \frac{\exp(-\int_0^T r_s ds)}{P(0,T)} $$ 可以證明 $ \exp(-\int_0^t r_s ds)P(t,T) $ 是一個 $ (\mathscr F_t, \mathbb P)- $ 鞅在哪裡 $ r_t $ 是短速率過程和 $ P(t,T) $ 是債券價格。
我們被賦予了
$$ \frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \zeta_t dW_t $$ 在哪裡 $ r_t $ 和 $ \zeta_t $ 是 $ \mathscr F_t $ -適應和 $ \zeta_t $ 滿足諾維科夫的條件。我不認為 $ \zeta_t $ 應該特別代表任何東西。
定義隨機過程 $ \hat{W} = (\hat{W_t})_{t\in[0,T]} $ 英石
$$ \hat{W_t} := W_t + \int_0^t -\zeta_s ds $$ 用吉薩諾夫定理證明 $ \hat{W_t} $ 是標準的 $ \hat{\mathbb P} $ -布朗運動。
我嘗試了什麼：
自從 $ \zeta_t $ 滿足諾維科夫的條件， $ \int_0^T -\zeta_t dt < \infty $ 作為和
$$ L_t := \exp(-\int_0^t (-\zeta_s dW_s) - \frac{1}{2} \int_0^t \zeta_s^2 ds) $$ 是一個 $ (\mathscr F_t, \mathbb P)- $ 鞅。
由吉薩諾夫定理， $ \hat{W_t} $ 是標準的 $ \mathbb P^{*} $ -布朗運動
$$ \frac{d \mathbb P^{*}}{d \mathbb P} = L_T $$ 我想我們有 $ \hat{W_t} $ 是標準的 $ \hat{\mathbb P} $ -布朗運動，如果我們能證明的話
$$ L_T = \frac{d \hat{\mathbb P}}{d \mathbb P} $$ 我想我能夠證明（失去了我的筆記） $ dL_t = L_t \zeta_t dW_t $ , $ dA_t = A_t \zeta_t dW_t $ 進而 $ d(\ln L_t) = d(\ln A_t) $
從 $ d(\ln L_t) = d(\ln A_t) $ , 我推斷 $ L_t = A_t $ 因此 $ L_T = A_T $ QED。
是對的嗎？
正如您定義的那樣，您的符號真的很難遵循 $ \mathbb{P} $ 開始時兩次。符號 $ \mathbb{P} = \mathbb{\hat{P}} $ 和 $ \mathbb{P} =\mathbb{\tilde{P}} $ 作為機率測度沒有意義 $ \mathbb{P} $ 已經固定並用於現實世界的機率測量。我認為這就是您感到困惑的原因。
這是解決方案。我在這裡使用標準符號。在下面 $ \mathbb{Q} $ 風險中性機率
$$ \frac{d P_{tT}}{P_{tT}} = r_t dt + \xi_t dW_t $$ 現在考慮這個過程 $ \displaystyle Z_t = \exp(-\int_{0}^t r_s ds)\frac{P_{tT}}{P_{0T}} $ . 請注意，使用您的符號 $ Z_T = A_T $ ， 自從 $ P_{TT} = 1 $ .
如果我們證明這是一個 $ Z_t $ 是一個 $ \mathbb{Q} $ -鞅，與 $ Z_0 = 1 $ ，那麼我們可以應用度量變化來定義 $ \mathbb{Q}_{T} $ ，前向測度，如
$$ \mathbb{Q}{T}(B) = \mathbb{E}{\mathbb{Q}}(Z_T \cdot I_{B}), $$ 為了 $ B \in \mathcal{F}_T $ . 然後，由 Girsanov 定理， $ \hat{W}_t = W_t -\int_0^t \xi_s ds $ 是一個BM下 $ \mathbb{Q}T $ . 請注意減號，而不是問題中的加號。 證明 $ Z_t $ 是鞅 $ Z_0 = 1 $ : 事實是 $ Z_0 = 1 $ 清楚了。對於鞅屬性，我們從動力學中得到 $ P{tT} $ 在下面 $ \mathbb{Q} $ ,
$$ \begin{align*} d(\exp(-\int_{0}^t r_s ds)P_{tT}) = \exp(-\int_{0}^t r_s ds)P_{tT} \xi_t dW_t \end{align*} $$ 因此， $ dZ_t = Z_t \xi_t dW_t $ 或等效地通過取對數並應用 Ito 的公式， $$ Z_t = \exp\left( \int_{0}^{t} \xi_s dW_s - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \xi^2_s ds\right) $$ 注意這裡 $ Z_t = L_t $ . 正如我們被告知它驗證了諾維科夫條件，這確保了它是一個鞅，並且我們可以應用 Girsanov。