船體白色加長 Vasicek 模型
我試圖理解赫爾和懷特具有里程碑意義的論文“定價利率衍生證券”（1990 年）中的一個公式。我看不到重新排列 (11) 和應用邊界條件如何導致第 6 頁上的 (13)（如下所示）。
如果是我的基本微積分有問題，請給我指點並道歉。
你是對的，等式 (11) 是從 (7) 機械推導出來的（通過對 wrt 求導 $ T $ 然後將is與(7))結合起來，不知何故他們認為(13)可以從(11)中得到而無需記住(7)。也許通過巧妙地整合（例如注意 $ B_tB_T - BB_{tT} $ 是導數 wrt 的分子 $ t $ 分數的 $ B/B_T $ ）並使用邊界條件（我想不通）。
當然，我們可以做的是求解一階線性方程 $ t $ (7)
$$ B_t = a(t)B-1. $$
使用通常的原始函式：
$$ \alpha’(t) = a(t), ; ; \beta’(t) = -{\rm e}^{-\alpha(t)}, $$
方程（7）的通解為
$$ B(t,T) = c(T){\rm e}^{\alpha(t)} + {\rm e}^{\alpha(t)}\beta(t), $$
和 $ c(T) $ 的任意函式 $ T $ .
作為 $ B(T,T)=0 $ ，我們必須有：
$$ c (T)= -\beta(T). $$
所以：
$$ B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\beta(T) - \beta(t)\right). $$
然後我們可以很容易地檢查這個解決方案是否符合 (13)：
$$ B(0,T) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(T) - \beta(0)\right) $$
$$ B(0,t) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(t) - \beta(0)\right) $$
$$ \partial B(0,t)/\partial t = -{\rm e}^{\alpha(0)}\beta’(t) = {\rm e}^{\alpha(0)} {\rm e}^{-\alpha(t)} $$
編輯：請注意，（11）可以寫成：
$$ (B_T)_t =\frac{1-B_t}{B}B_T $$ 這相當於 $$ (\ln B_T)_t = \frac{1-B_t}{B}. $$
在這一點上，我們需要記住（7）的右手邊是 $ t $ 只要， $ a(t) $ , 否則從這裡開始會變得很麻煩。解決方案是 $$ B_T = {\rm e}^{\alpha (t) + \gamma (T)} $$ 為了 $ \gamma (T) $ 的任意函式 $ T $ . 將 wrt 集成到 $ T $ ，我們得到：
$$ B(t,T) = {\rm e}^{\alpha (t)} (\Gamma (T) + \eta (t)) $$ 為了 $ \eta (t) $ 的任意函式 $ t $ 和 $ \Gamma^\prime = {\rm e}^{\gamma} $ .
邊界條件 $ B(T,T)=0 $ 然後強制：
$$ \Gamma(T) = -\eta(T). $$
所以，
$$ B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\eta(T) - \eta(t)\right). $$
再一次，注意到
$$ B_t = -{\rm e}^{\alpha(t)}a(t)\eta(T) + {\rm e}^{\alpha(t)}a(t) \eta(t) + {\rm e}^{\alpha(t)} \eta^\prime (t), $$
(7) 則意味著：
$$ \eta(t) = \beta(t). $$