使用變異數定義對布朗運動的平方積分
讓 $ B = { B(t); t \ge 0} $ 然後讓 $ Z = { Z(t); t \ge 0 } $ 在哪裡$$ Z(t) = \int_0^t B^2(s) ds. $$我們如何找到 $ E[Z(t)] $ 和 $ E[Z^2 (t)] $ 為了得到變異數 $ Var [Z^2(t)] = E[Z^2 (t) ] - E[Z(t)]^2 $
已經有很多文章類似於這個問題的時間積分平方布朗運動的變異數， 布朗運動平方的時間積分分佈（布朗運動發生在平方根時間中）？和布朗運動的積分， 但它們都涉及使用我還沒有的想法，即伊藤引理和對稱性等。
我的問題是，是否可以通過找到變異數定義來解決問題 $ E[Z^2(t)] $ 和 $ E[Z(t)]^2 $ 不一定使用 ito？如果有人幫助我，我會很高興。
根據提示，您首先編寫
$$ \begin{align*} \mathbb{E} \left [\left (\int_{0}^{t} W_{s}^{2}, ds \right )^{2} \right ] &= \mathbb{E} \left [\left (\int_{0}^{t} W_{s}^{2}, ds \right )\left (\int_{0}^{t} W_{u}^{2}, du \right ) \right ] \ &= \mathbb{E} \left [\int_{0}^{t} \int_{0}^{t} W_{s}^{2}W_{u}^{2}, du , ds \right ] \ &= \mathbb{E} \left [\int_{0}^{t} \int_{0}^{s} W_{s}^{2}W_{u}^{2}, du , ds \right ] + \mathbb{E} \left [\int_{0}^{t} \int_{s}^{t} W_{s}^{2}W_{u}^{2}, du , ds \right ] \ &= \mathbb{E} \left [\int_{0}^{t} \int_{0}^{s} W_{s}^{2}W_{u}^{2}, du , ds \right ] + \mathbb{E} \left [\int_{0}^{t} \int_{0}^{u} W_{s}^{2}W_{u}^{2}, ds , du \right ] \ &= 2\mathbb{E} \left [\int_{0}^{t} \int_{0}^{s} W_{s}^{2}W_{u}^{2}, du , ds \right ] \ &= 2\int_{0}^{t} \int_{0}^{s} \mathbb{E}[W_{s}^{2}W_{u}^{2}], du , ds. \end{align*} $$
現在計算（對於 $ u<s $ ) $$ \begin{align*} \mathbb{E}[W_{u}^{2}W_{s}^{2}] &= \mathbb{E}\left [W_{u}^{2} \left ((W_{s}-W_{u})^{2} + 2W_{u}(W_{s}-W_{u}) + W_{u}^{2} \right )\right ] \ &= \mathbb{E}[W_{u}^{2}]\mathbb{E}[W_{s-u}^{2}] + 2\mathbb{E}[W_{u}]\mathbb{E}[W_{s-u}] + \mathbb{E}[W_{u}^{4}] \ &= u(s-u)+3u^{2} \ &= 2u^{2} + us. \end{align*} $$
你的答案將是 $$ \begin{align*} \mathbb{E} \left [\left (\int_{0}^{t} W_{s}^{2}, ds \right )^{2} \right ] &= 2\int_{0}^{t} \int_{0}^{s} \mathbb{E}[W_{s}^{2}W_{u}^{2}], du , ds \ &= 2\int_{0}^{t} \int_{0}^{s} 2u^{2}+us , du , ds \ &= 2\int_{0}^{t} \frac{7}{6}s^{3}, ds \ &= \frac{7}{12}t^{4}. \end{align*} $$
發現差異是由於我們的仁慈貢獻者。 $$ \begin{align*} \mathrm{Var} [Z^2(t)] & = \mathrm{E} \ [Z^2 (t) ] - \mathrm{E}\ [Z(t)]^2 \ & = \mathrm{E}\ \left [\left (\int_{0}^{t} B_{s}^{2}, ds \right )^{2} \right ] - \mathrm{E}\ \left[\int_0^t B^2(s) ds\right]^2\ &= 2\int_{0}^{t} \int_{0}^{s} \mathrm{E} \ [B_{s}^{2}B_{u}^{2}], du , ds - \left(\int_0^t \mathrm{E}\ [B^2(s)] \right)^2 ds\ &= 2\int_{0}^{t} \int_{0}^{s} (2u^{2}+us) , du , ds - \left([0.5s^2]_0^{t} \right)^2\ &= \frac{7}{12}t^{4} - \frac{1}{4}t^4\ &= \frac{1}{3}t^{4} . \end {align*} $$