維納過程的積分
我對以下積分的計算有疑問-
$ \int_0^t W_sds $
在哪裡 $ W_s $ 是維納過程。
這在下面的頁面中得到了很好的解決。原來是正態分佈，均值為 0，變異數為 $ t^{3}/3 $ .
我的疑問是上述積分也可以表示為總和的極限
$ lim_{ n \to \infty } \sum_{i=0}^{n-1} W_{s_i}(s_{i+1}-s_i)= lim_{ n \to \infty } \sum_{i=0}^{n-1} \phi_{i}(0,i(t/n)^{3}) = lim_{ n \to \infty } \phi(0,\frac{n(n+1)}{2}(t/n)^{3})=0 $
在哪裡 $ \phi (\mu ,\sigma^{2}) $ 是具有均值的正態分佈 $ \mu $ 和變異數 $ \sigma^{2} $ .
這表明積分等於 0，我知道以前的解決方案是不正確的。有人可以指出我在這裡出錯的地方嗎？
謝謝！
@Ivan 關於共變異數的評論是關鍵。
考慮一個等間距的分區 $ \Pi_n = \left{ t_0 = 0, t_1 = \Delta_n, \ldots, t_n = t \right} $ 區間的 $ [0, t] $ ， 在哪裡 $ t_i = i \Delta_n $ 和 $ \Delta_n = t / n $ 以便
$$ \begin{equation} X_t = \lim_{n \rightarrow \infty} X_n, \qquad X_n = \sum_{i = 1}^n W_{t_i} \left( t_i - t_{i - 1} \right). \nonumber \end{equation} $$ 現在，每個 $ W_{t_i} $ 是 $ \mathcal{N} \left( 0, t_i \right) $ 分佈和之間的共變異數 $ W_{t_i} $ 和 $ W_{t_j} $ 為了 $ i, j \in { 0, 1, \ldots, n } $ 是 $ \min \left{ t_i, t_j \right} = \Delta \min { i, j } $ . 讓 $ \bar{W}n = \left( \begin{array}{c c c c} W{t_1} & W_{t_2} & \dots & W_{t_n} \end{array} \right)’ $ ，則共變異數矩陣為
$$ \begin{eqnarray} \bar{\Sigma}_n = \mathbb{E} \left[ \bar{W}_n \bar{W}_n’ \right] = \left[ \begin{array}{c c c c} t_1 & t_1 & \dots & t_1\ t_1 & t_2 & \dots & t_2\ t_1 & t_2 & \ddots & \vdots\ t_1 & t_2 & \dots & t_n \end{array} \right] = \Delta_n \left[ \begin{array}{c c c c} 1 & 1 & \dots & 1\ 1 & 2 & \dots & 2\ 1 & 2 & \ddots & \vdots\ 1 & 2 & \dots & n \end{array} \right]. \nonumber \end{eqnarray} $$ 由於正態分佈的隨機變數的加權和本身是正態分佈的，因此得出 $ X_n \sim \mathcal{N} \left( 0, \Delta_n \bar{1}_n \bar{\Sigma}_n \bar{1}_n’ \Delta_n \right) $ ， 在哪裡 $ \bar{1}_n $ 是一個 $ n $ 維的列向量。我們有
$$ \begin{eqnarray} \text{Var} \left( X_n \right) & = & \Delta_n^3 \sum_{i = 1}^n i \left( 2 (n - i) + 1 \right) \nonumber\ & = & \Delta_n^3 \left( \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6} n \right) \nonumber\ & = & t^3 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} n^{-1} + \frac{1}{6} n^{-2} \right). \nonumber \end{eqnarray} $$ 最後，
$$ \begin{equation} \lim_{n \rightarrow \infty} \text{Var} \left( X_n \right) = \frac{1}{3} t^3 \nonumber \end{equation} $$ 隨之而來的是 $ X_t \sim \mathcal{N} \left( 0, t^3 / 3 \right) $ .