布朗運動與布朗運動的指數積分

我必須為我的論文推導出幾件事，但是，我有以下表達：

$$ \int^{t}{0} \exp{\sigma W{t}}.dW_{t} $$

有誰知道這個的解決方案是什麼？

親切的問候。

與微積分中的許多普通積分不同，Ito 微積分中並不總是有解。

部分答案和提示

過程 $$ M_t=\exp{\sigma,W_t-\sigma^2t/2} $$ 是滿足的鞅 $$ dM_t=\sigma,M_t,dW_t,,\quad\text{ or in integral form }M_t=1+\int_0^t\sigma,M_s,dW_s,. $$ 所以， $$ \int_0^t\sigma,M_s,dW_s=\sigma\int_0^t\exp{\sigma,W_s-\sigma^2s/2},dW_s=M_t-1=\exp{\sigma,W_t-\sigma^2t/2}-1,. $$ 如果你想擺脫 $ -\sigma^2s/2 $ 指數中的術語您可以應用 Girsanov 定理，這將在積分 BM 中引入漂移 $ dW_t $ .

我認為某些積分將始終“未解決”。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/70052