維納過程的集成
我怎樣才能證明下面的等式成立？
$ \int\limits_{0}^{t} f \left( s \right)W_s ds = W_t \int\limits_{0}^{t}f \left( s \right)ds - \int\limits_{0}^{t}\int\limits_{0}^{s} f\left( u \right)dudW_s $
$ W_t $ 是正則維納過程。
讓
$$ g_s = \int_0^s f_u du $$
根據 Ito-Leibniz 乘積法則：
$$ d(W_sg_s) = W_sdg_s+ g_sdW_s +d[g,W]_s $$
假設 $ f_s $ 是確定性的， $ d[g,W]_s = 0 $ 我們得到：
$$ d(W_sg_s) = W_sdg_s + g_sdW_s $$ 在積分形式中，這是：
$$ W_tg_t = \int_0^t W_sdg_s + \int_0^t g_sdW_s $$
回到 $ f $ :
$$ W_t \int_0^t f_u du = \int_0^t W_sf_sds + \int_0^t \int_0^s f_u du dW_s $$
我們可以使用按部分隨機積分來展示這一點。
從上面的連結中得出推論 $$ \begin{align} X_t Y_t = X_0 Y_0 + \int_0^t X_s dY_s + \int_0 ^t Y_{s-} dX_s \end{align} $$
我們設置 $ X_t $ 和 $ Y_t $ 等於以下： $$ \begin{align} X_t &\to \int_0^t f(u) du\ Y_t &\to W_t \end{align} $$
然後 $$ \begin{align} W_t \int_0^t f(u) du &= W_0 \int_0^0 f(u) du + \int_0^t \Bigl( \int_0^s f(u) du \Bigr) dW_s + \int_0^t W_s d\Bigl( \int_0^s f(u) du \Bigr)\ \end{align} $$
第二項是 $ 0 $ （因為積分範圍是 $ 0 $ 和 $ W_0 = 0 $ ）。第四項通過微積分基本定理簡化，它說 $ d\Bigl( \int_0^s f(u) du \Bigr) = f(s)ds\\ $ ， 所以： $$ \begin{align} W_t \int_0^t f(u) du &= \int_0^t \int_0^s f(u) du dW_s + \int_0^t W_s f(s)ds\ \int_0^t W_s f(s)ds &= W_t \int_0^t f(u) du - \int_0^t \Bigl( \int_0^s f(u) du \Bigr) dW_s \end{align} $$
這是你問題中的表達。