維納過程的函式積分

我希望計算典型維納過程的 3 個期望值以下 -

1. $ E \left[ \int\limits_{0}^{T} tdW_t \right] $
2. $ E \left[ \left( \int\limits_{0}^{T} tdW_t \right)^2 \right] $
3. $ E \left[W_T \int\limits_{0}^{T} tdW_t \right] $

應該如何接近他們？

• **問題 1)**確定性函式的 Itô 積分是高斯積分，請參見此處或此處，即$$ \int_0^T f(u)\mathrm{d}W_u \sim N\left( 0,\int_0^T f(u)^2\mathrm{d}u\right). $$因此答案為零。我們當然需要這樣 $ \int_0^T f(u)^2\mathrm{d}u<\infty $ .
• 問題 2)伊藤等距的簡單版本讀作$$ \mathbb{E}\left[\left(\int_0^T X_u\mathrm{d}W_u\right)^2\right]=\mathbb{E}\left[\int_0^TX_u^2\mathrm{d}u\right]. $$環境 $ X_u=u $ , 問題二的答案是這樣 $ \int_0^T u^2\mathrm{d}u=\frac{1}{3}T^3 $ .
• 問題 3) Itô 的等距概括為$$ \mathbb{E}\left[\left(\int_0^T X_u\mathrm{d}W_u\right)\left(\int_0^T Y_u\mathrm{d}W_u\right)\right]=\mathbb{E}\left[\int_0^TX_uY_u\mathrm{d}u\right]. $$ 因此，

$$ \mathbb{E}\left[W_T\int_0^T u\mathrm{d}W_u\right]=\mathbb{E}\left[\left(\int_0^T 1\mathrm{d}W_u\right)\left(\int_0^T u\mathrm{d}W_u\right)\right]=\mathbb{E}\left[\int_0^T u\mathrm{d}u\right]=\frac{1}{2}T^2. $$

（注意：您的問題中有一個錯字，第一個布朗運動應該是 $ W_T $ 並不是 $ W_t $ .)

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/57066