是否有一個隨機方程可以根據其四個矩來模擬回報？
正態隨機方程僅對均值和標準差建模。
目前，我從歷史收益的 CDF 中隨機選擇收益。在接下來的兩個時刻 - 偏斜度和峰度方面，我希望有一些靈活性。
我在找什麼：
$$ dS_t = \mu S_t , dt + \sigma_t S_t , dW_t + \mbox{skew-term} + \mbox{kurtosis-term} $$ 我對產生隨機回報的其他方式持開放態度。
乾杯!
我建議你看一下論文：
- Schloegel, Erik（2010 年）“標的資產遵循克/查理爾任意順序密度的期權定價”，經濟動態與控制雜誌，卷。37，第 3 期，第 611-631 頁
在SSRN上可用。
隨機變數 $ Y $ 遵循 Gram/Charlier Type A 系列分佈的具有機率密度函式
$$ \begin{equation} f_Y(x) = \phi(x) \sum_{j = 0}^\infty c_j \mathrm{He}_j(x). \end{equation} $$ 這裡， $ \phi(x) $ 是標準正態密度函式， $ \text{He}_j(x) $ 是 Hermite 多項式。係數 $ c_j $ 與分佈的累積量有關。當您截斷無限和時 $ j = 4 $ ， 放 $ c_0 = 1 $ , $ c_1 = c_2 = 0 $ , $ c_3 = \mathcal{S} / 6 $ 和 $ c_4 = \mathcal{K} / 24 $ ，則所得分佈的均值為零，單位變異數和近似偏度為 $ \mathcal{S} $ 和過度峰度 $ \mathcal{K} $ .
我們現在可以定義對數價格過程 $ X $ 作為
$$ \begin{equation} X_t = X_0 + \gamma t + \sigma \sqrt{t} Y, \end{equation} $$ 在哪裡 $ \gamma $ 選擇使得 $ S_t = S_0 \exp \left{ X_t \right} $ 是銀行賬戶計價下的鞅。這種方法可以擴展到多個時期。有關詳細資訊，請參閱上述論文。我也可以推薦作者的書
- Schloegel, Erik（2014 年）“量化金融 - C++ 中的物件導向方法”，Chapman & Hall