布朗運動函式的 Ito 積分
如何證明：
$$ \mathbb{E}\left[ \int f(W_s)dWs \right] = 0 $$
對所有人 $ f() $ 那是的權力 $ W(s) $ ?? 我假設人們必須通過伊藤積分的定義並將積分錶示為鞅差的總和？
我試過這樣做，但它對我不起作用：服用 $ f(W(s))=W(s) $ 並將intergal分成有限的“恆定”部分：
$$ \mathbb{E}\left[ \int f(W_s)dWs \right] = \mathbb{E} \sum_iW_i(W_i-W_{i-1}) = \sum_i\mathbb{E}[W_i^2-W_iW_{i-1}]=\sum_i\mathbb{E}W_i^2\neq0 $$
顯然，以上不是展示它的方式。有什麼提示嗎？
期望為零通常被稱為 Ito 積分的鞅性質（參見例如 Oksendal Theorem 3.2.1）。正式證明包括為“簡單”被積函式展示這一點，然後通過限制對其進行推廣。這要求被積函式過程是自適應的（即不是前瞻性的）並且是平方可積的。平方可積性很重要，因為通常 Ito 積分的期望值可以取任何值，如下所述：https ://math.stackexchange.com/questions/232932/it%C5%8D-integral-has-expectation-zero 。但是，這些技術條件在實際應用中通常是可以滿足的。在您的情況下，它源於維納過程具有有限矩的事實。
Ito 積分是一個鞅，因此它在任何時候的期望是它在 t=0 時的值——通常為 0；因為積分的下限和上限都是 0。
對於防汛性的證明，您可以參考 Shreve。它使用 ito 積分的定義，將其視為從切片時間軸生成的許多隨機變數的總和。從布朗運動的馬丁運動，證明如下。
直覺地說，您可以將 Ito 積分視為將“權重”（布朗增量）隨機分配給被積函式的累積結果。這些權重是相互獨立分配的，並且獨立於它們各自的被積函式（您不能係統地將更高/更低的權重分配給具有更高/更低被積函式的時間點）。因此，您會期望總和不會正偏或負偏 - 因為分配是隨機的，並且不能使用被積函式的知識來偏向總和。這是鞅屬性。