Poisson過程的伊藤引理
我是跳躍過程隨機微積分的新手，遇到了困難。我希望社區對以下問題做出一些澄清。
讓 $ g_t $ 做一個 $ \mathcal{F_t} $ - 適應過程 $ \mathcal{F_t} $ 是Poisson過程產生的自然過濾 $ N_t $ .
定義隨機積分 $ Y_t $ 作為$$ Y_t = \int_0^t g_{s^{-}} d\hat{N_s} $$在哪裡 $ \hat{N_t} = N_t - \lambda t $ 是補償Poisson過程。
認為 $ Z_t = f(t,Y_t) $ 曾經可微分於 $ t $ ，則Poisson過程的 Ito 公式為$$ \begin{equation}dZ_t = \bigg{\partial_t f(t,Y_t) + \lambda \Big(\big[f(t, Y_{t^{-}} + g_{t^{-}}) - f(t,Y_{t^{-}})\big] - g_t \partial_y f(t,Y_t) \Big) \bigg}dt + \bigg[ f(t,Y_{t^{-}} + g_{t^{-}}) - f(t, Y_{t^{-}}) \bigg]d\hat{N_t} \end{equation} $$
所以我的問題是為什麼我們有，通過伊藤公式， $$ \begin{equation} H(\tau, N_\tau) = H(t,N_t) + \int_t^\tau (\partial_t + \mathcal{L}s)H(s, N_s)ds + \int_t^\tau \left[ H(s, N{s^{-}} + 1) - H(s,N_{s^{-}})\right]d\hat{N_s} \end{equation} $$在哪裡 $ \mathcal{L_t}{H(t,n)} = \lambda(t,n,u) \left[ H(t,n+1) - H(t,n)\right] $ ? 拿 $ N_t = n $ .
為什麼 $ -g_t \partial_y{H(t, N_t)} $ 術語消失？我相信 $ Y_t = \int_0^t 1 d\hat{N_s} = \hat{N_t} $ 所以 $ -g_t \partial_y{H(t, N_t)} = -\partial_{\hat{N_t}} H(t,N_t) = 0 $ ? 不會 $ \partial_\hat{N_t} H(t,N_t) = \partial_{N_t} H(t,N_t) $ 反而？
謝謝
Poisson過程的基本Ito 公式是 $$ dY_t = \mu_t dt + g_t dN_t $$
$$ df(Y_t) = \mu_t f’(Y_t) dt + (f(Y_{t-}+g_t) - f(Y_{t-}))dN_t $$
（掉落 $ f $ 的直接依賴於時間變數以避免偏導數混亂）。
案子 $ \mu_t = -\lambda g_t $ （這是你原來的情況）：
$$ df(Y_t) = -\lambda g_t f’(Y_t) dt+ (f(Y_{t-}+g_t) - f(Y_{t-}))dN_t $$
$$ = \lambda [(f(Y_{t-}+g_t) - f(Y_{t-})) - g_t f’(Y_t)]dt + (f(Y_{t-}+g_t) - f(Y_{t-}))d\hat{N}_t $$
案子 $ \mu_t = 0 $ （這裡 $ gf’ $ 消失）：
$$ df(Y_t) = (f(Y_{t-}+g_t) - f(Y_{t-}))dN_t $$
$$ = \lambda (f(Y_{t-}+g_t) - f(Y_{t-})) dt + (f(Y_{t-}+g_t) - f(Y_{t-}))d\hat{N}_t $$
案子 $ \mu_t = 0, g_t =1 $ （這是一個神秘的案例，其中 $ Y_t=N_t $ ):
$$ df(N_t) = (f(N_{t-}+1) - f(N_{t-}))dN_t $$
$$ = \lambda (f(N_{t-}+1) - f(N_{t-})) dt + (f(N_{t-}+1) - f(N_{t-}))d\hat{N}_t $$