Itos 引理推導表示法
因此，在 Hull (2012) 中，重點是 $ \Delta x^2 = b^2 \epsilon ^2 \Delta t + $ 高階項 $ $ 有秩序 $ \Delta t $ 並且不能忽略，因為布朗運動表現出的二次變化 $ \Delta t $ . 我的問題現在是什麼 $ \epsilon ^2 $ 相當於。Cochrane (2005) 指出 $ dz^2 = dt $ ，所以我很困惑，因為赫爾定義 $ dz $ 作為 $ \epsilon \sqrt dt $ . 因此， $ dz^2 $ 會暗示 $ \epsilon^2 dt $ . 作為 $ \epsilon $ 是標準正態分佈的，平均值為零，變異數為一，這意味著 $ \Delta x^2 = b^2 \epsilon ^2 \Delta t $ 那 $ b^2 \epsilon ^2 \Delta t $ 會在極限內 $ \Delta t $ 變為零等於 $ b^2 \Delta t $ 作為 $ E(\epsilon^2) $ =1。赫爾認為變異數 $ \epsilon \Delta t $ 會變得太小，因此失去它的隨機分量，然後等於它的極限值，但我不太明白。我唯一的解釋是 $ \epsilon^2 $ 等於一，但不是這樣嗎 $ E(\epsilon^2) = 1 $ ?
實際推理背後的理論比赫爾的覆蓋範圍要復雜一些，但在簡單的推理中，差異歸結為以下幾點：
布朗增量在區間內 $ dt $ 均值為零且變異數為正態分佈 $ dt $ ，因此在分佈方面，您可以用標準正態表示增量： $ dw_t \sim \epsilon , \sqrt{dt} $ . 你可以很容易地驗證這一點：一個常數乘以一個正態是正態的，平均值 $ \sqrt{dt} $ 乘以標準正態等於零，變異數等於 $ dt \times \mathrm{variance , of, standard , normal} =dt\times 1=dt $ .
$ dw_t $ 和 $ \epsilon $ 是隨機變數，所以 $ dw_t^2=dt $ 在某種機率/限制意義上意味著這種平等。你可以把它當作變異數，或者 $ E\left[dw_t^2\right] $ 因為意味著 $ dw_t $ 為零。但實際上這個等式在更強烈的意義上成立——想想模擬的布朗路徑，如果你讓間隔的數量變得非常大，你會看到布朗增量的平方和等於 $ dt $ .
但是對於日常使用，您可以假設 $ dw_t \sim \epsilon , \sqrt{dt} $ 和 $ dw_t^2 =dt $ , 想到 $ dw_t^2 $ 當區間被劃分為非常多的子區間時，作為布朗增量的變異數或平方和。
我認為這個問題也引起了與符號的常見混淆。我認為使用諸如 $ dW(t) $ （除非它是隨機積分的一部分），當我看到它被用於教科書時，我會感到不安。
布朗運動的定義是隱含的，如下所示：
（一世） $ W(t=0) = 0 $
(二) $ W(t) $ 是（幾乎肯定）連續的
㈢ $ W(t) $ 有獨立增量
(iv) 增量 $ W(t) - W(s): t\geq s \geq0 $ 均值為零且**變異數 = (ts)**的正態分佈。
變異數有什麼作用 $ dW(t) $ 有？在我看來，很難討論這個問題。我們真的是說 $ W(dt) $ （所以變異數是無窮小的？）？或者更像 $ W(\delta t) $ ，所以變異數為 $ \delta t $ ，即非常小？我從未見過認真的講師使用這種符號 $ dW(t) $ （除了隨機積分）。我想討論數量 $ dW(t) $ 隨機積分之外沒有意義。相反，讓我們使用 $ W(\delta t) $ ，在這種情況下，我們可以討論它的分佈。
回到問題：在赫爾， $ Z $ 混淆地指 $ W $ 和 $ \epsilon $ 指標準正態隨機變數。
所以當赫爾寫 $ dZ = \epsilon \sqrt(dt) $ , 他真的是想說 $ Z(\delta t) $ 等於分配到 $ \epsilon \sqrt(\delta t) $ . 現在：
$$ \mathbb{E}\left[\epsilon \sqrt{\delta t}\right]=0 $$
$$ \mathbb{E}[(\epsilon \sqrt{\delta t})^2]=Var(\epsilon \sqrt{\delta t})=\delta t Var(\epsilon)= \delta t $$
$$ Var\left((\epsilon \sqrt{\delta t})^2\right) = Var \left( \epsilon^2 \delta t\right)= \delta t^2 Var \left( \epsilon^2 \right) $$
上面，第一個等式是真的，因為平凡 $ \mathbb{E}[\epsilon]=0 $ 根據標準正態變數的定義。第二個相等是真的，因為平凡 $ Var(\epsilon)=1 $ ，再次通過標準正態變數的定義。第三個等式是正確的，因為對於任何隨機變數 $ X $ , $ Var(aX)=a^2Var(X) $ .
在第三個等式中，我們可以看到，無論什麼 $ Var \left( \epsilon^2 \right) $ 實際上是，這個詞 $ Var \left( \epsilon^2 \delta t\right) $ 將有秩序 $ \delta t^2 $ .
所以真的，當有人寫 $ dz^2 = dt $ , 他們其實是想說 $ Z(\delta t)^2 $ 收斂到一個非隨機量時 $ \delta t $ 變得非常小，因為變異數是有序的 $ \delta t^2 $ ，因此變異數很快收斂到零（並且沒有變異數的隨機變數不再是隨機的）。的期望值 $ Z(\delta t)^2 $ 是 $ \delta t $ 如上所示，所以總而言之， $ Z(\delta t)^2 $ 快速收斂到非隨機變數 $ \delta t $ 什麼時候 $ \delta t $ 任意接近零。