具有 Levy-alpha 穩定漂移的期權定價的 Ito 引理

考慮

$$ dS=\omega\left(\Lambda-S\right)dt+\sigma_S S dW_t, $$

這樣使得這樣 $ W_t $ 是維納過程， $ \sigma_S $ 是恆定的， $ \omega: t\rightarrow\mathbb{R} $ 表示預期的漂移，是一個穩定的過程，並且 $ \Lambda:t\rightarrow\mathbb{R}^+ $ 是確定性的。在數值上，離散形式是

$$ S_{t+\Delta t}=\Delta t\left(\sigma_S S_t\xi_t+(\zeta_t\Delta t+\omega_t)(\Lambda-S_t)\right)+S_t $$

在哪裡 $ \zeta\sim\mathcal{S}(\alpha,0,c,0) $ 是Lévy 阿爾法穩定分佈. 注意特徵函式 $ \zeta_t $ 是

$$ \varphi=e^{-\left|ct\right|^{\alpha}}. $$

那麼，當 $ \alpha=1 $ ，我們有柯西分佈。是否存在針對該值的 Ito 引理的適當修改版本 $ dV(t,S_t) $ 一個選項 $ V(t,S_t $ )?

根據定義，您的 $ S $ 是一個連續的過程，並且 $$ d\langle S\rangle_t=\sigma_S^2,S_t^2,dt,. $$ 適用的伊藤公式是傳統公式 $$ dV(t,S_t)=\partial_tV(t,S_t),dt+\partial_SV(t,S_t),dS_t+\frac{1}{2}\partial^2_SV(t,S_t),d\langle S\rangle_t,. $$ 現在插入你的表達式 $ dS_t,. $

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/68802