這是引理問題
有人可以幫我解決這個問題。
我有這 3 個方程，我必須用 Ito 的引理找到 $ dXt $ .
$$ \begin{cases} dY= μYdt+σYdB \ X=\frac{1}{2}cY\ dc =-aαcdt\end{cases} $$
寫下函式 X 的 Ito 引理：
$$ dX=\frac{\partial X}{\partial Y}dY+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 X}{\partial Y^2}(dY)^2+\frac{\partial X}{\partial c}dc+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 X}{\partial c^2}(dc)^2+\frac{\partial^2 X}{\partial Y \partial c}dYdc+\frac{\partial^2 X}{\partial c \partial Y}dcdY $$
使用以下內容：
$ \frac{\partial X}{\partial Y}=\frac{1}{2}c $ , $ \frac{\partial^2 X}{\partial Y^2}=0 $
$ \frac{\partial X}{\partial c}=\frac{1}{2}Y $ , $ \frac{\partial^2 X}{\partial c^2}=0 $
$ \frac{\partial^2 X}{\partial Y \partial c}=\frac{\partial^2 X}{\partial c \partial Y}=0 $
將這 4 個表達式插入到上面的 Ito 公式中，可以得到：
$$ dX=\frac{1}{2}cdY+\frac{1}{2}Ydc=cY(\frac{\mu}{2}-\frac{a\alpha}{2})dt+\frac{\sigma}{2}YcdB $$
其中的初始表達式 $ dY $ 和 $ dc $ 已在最後一步被替換回來。解決方案 $ Y $ 和 $ c $ , 是微不足道的：它們分別是 GBM 的 SDE 和指數衰減的解